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[ID: 622] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 651
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 13 janvier 2021 10:18

1. \(f\) est définie sur \(I=\mathbb{R}\setminus\left\{0,1\right\}\). \(f\) est continue sur \(I\) comme quotient de fonctions continues sur \(I\). On a : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x}{x}=1\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\) donc \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\) si on pose \(f\left(0\right)=1\). \(f\) est par contre divergente en \(1\).

2. \(f\) est définie sur \(I=\left[-1,1\right]\setminus\left\{0\right\}\). \(f\) est continue sur \(I\) comme quotient de fonctions continues sur \(I\). De plus \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x}{x}=1\) donc on prolonge \(f\) par cntinuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=1\).

3. \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,1\right[\).

4. \(f\) est définie sur \(I=\left]1,+\infty\right[\) (mais aussi sur \(\left]+\infty,-1\right[\)). Elle est continue sur \(I\) comme composée et quotient de fonctions continues. De plus : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 1^+}{\sim} \dfrac{\sqrt{2\left(x-1\right)}}{x-1}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}} \xrightarrow[x\rightarrow 1^+]{}+\infty\) donc \(f\) est divergente en \(1\).