Pour chacune des fonctions suivantes :

  1. Déterminer où elle est définie.

  2. Déterminer là où elle est continue.

  3. La prolonger par continuité, quand c’est possible, là où elle n’est pas définie.

  1. \(f\left(x\right)=\dfrac{\mathop{\mathrm{argsh}}x}{x-x^2}\)

  2. \(f\left(x\right)=\dfrac{\operatorname{arcsin} x}{\mathop{\mathrm{argsh}}x}\)

  3. \(f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{argth}}x-\dfrac{1}{x-2}\)

  4. \(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{\operatorname{arctan} \left(x^2-1\right)}}{\mathop{\mathrm{sh}}\left(x-1\right)}\)


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[ID: 622] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 651
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:18
  1. \(f\) est définie sur \(I=\mathbb{R}\setminus\left\{0,1\right\}\). \(f\) est continue sur \(I\) comme quotient de fonctions continues sur \(I\). On a : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x}{x}=1\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\) donc \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\) si on pose \(f\left(0\right)=1\). \(f\) est par contre divergente en \(1\).

  2. \(f\) est définie sur \(I=\left[-1,1\right]\setminus\left\{0\right\}\). \(f\) est continue sur \(I\) comme quotient de fonctions continues sur \(I\). De plus \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x}{x}=1\) donc on prolonge \(f\) par cntinuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=1\).

  3. \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,1\right[\).

  4. \(f\) est définie sur \(I=\left]1,+\infty\right[\) (mais aussi sur \(\left]+\infty,-1\right[\)). Elle est continue sur \(I\) comme composée et quotient de fonctions continues. De plus : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 1^+}{\sim} \dfrac{\sqrt{2\left(x-1\right)}}{x-1}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{x-1}} \xrightarrow[x\rightarrow 1^+]{}+\infty\) donc \(f\) est divergente en \(1\).


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