Pour chacune des fonctions suivantes :

  1. Déterminer où elle est définie.

  2. Déterminer là où elle est continue.

  3. La prolonger par continuité, quand c’est possible, là où elle n’est pas définie.

  1. \(f\left(x\right)=e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\)

  2. \(f\left(x\right)=\mathop{\mathrm{argth}}x \sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\)

  3. \(f\left(x\right)=\left(x-1\right){\ln \left(x-1\right)}\)

  4. \(f\left(x\right)= \operatorname{arctan} \ln\left(1+x\right)-\dfrac{\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}x -1}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\)


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[ID: 620] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 834
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:18
  1. \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}^*\). \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions continues. Par opérations sur les limites : \(f\left(x\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). On prolonge donc \(f\) par continuité en \(0\) en posant : \(f\left(0\right)=0\).

  2. \(f\) est définie sur \(I=\left]-1,1\right[\setminus \left\{0\right\}\). \(f\) est continue sur \(I\) comme produit de fonctions continues sur \(I\). De plus : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}x\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\) et utilisant le théorème des gendarmes, on montre que \(x\sin{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). Il en est alors de même de \(f\) et on prolonge \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\). On vérifie facilement que \(f\) est divergente en \(1^-\) et en \(-1^+\).

  3. \(f\) est définie et continue sur \(I=\left]1,+\infty\right[\). De plus : \({f\left(x\right)}\xlongequal{X=x-1}{X\ln X}\xrightarrow[X\rightarrow 0^+]{}=0\) donc \(f\) est prolongeable par continuité en \(1^+\) en posant \(f\left(1\right)=0\).

  4. \(f\) est définie sur \(I=\left]-1,+\infty\right[\setminus\left\{0\right\}\). Par opérations sur les fonctions continues, \(f\) est continue sur \(I\). Par opérations sur les limites, \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -1^+]{} -\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}\left(-1\right)-1}}{\mathop{\mathrm{sh}}\left(-1\right)}\) et donc \(f\) est prolongeable par continuité en \(-1\). De plus : \(\operatorname{arctan} \ln\left(1+x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\ln\left(1+x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}x\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) et \(\dfrac{\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}x -1}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{\left|x\right|}{2x}\). Donc \(\dfrac{\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}x -1}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{} -\dfrac{\sqrt2}{2}\) et \(\dfrac{\sqrt{\mathop{\mathrm{ch}}x -1}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{} \dfrac{\sqrt2}{2}\). \(f\) n’est donc pas prolongeable par continuité en \(0\) par contre elle admet une limite à gauche et à droite de \(0\).


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