Pour chacune des fonctions suivantes :

  1. Déterminer où elle est définie.

  2. Déterminer là où elle est continue.

  3. La prolonger par continuité, quand c’est possible, là où elle n’est pas définie.

  1. \(f\left(x\right)=\dfrac{\left(\sqrt{1-x^2}-1\right)\sin x}{\operatorname{arctan} x}\)

  2. \(f\left(x\right)=\sqrt{x}\cos\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)-\dfrac{1}{1-x}\)

  3. \(f\left(x\right)=\dfrac{x^2\ln x}{\sin x}\)

  4. \(f\left(x\right)= \dfrac{1}{\left(1-x\right)\mathop{\mathrm{sh}}x}-\dfrac{1}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\)


Barre utilisateur

[ID: 618] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 855
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:18
  1. \(f\) est définie sur \(I=\left[-1,1\right]\setminus\left\{0\right\}\). \(f\) est continue sur \(I\) comme produit et quotient de fonctions continues sur \(I\). De plus, si \(x\in I\) : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{-x{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}}{x}=-\dfrac{x^2}{2}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). On peut prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\).

  2. \(f\) est définie sur \(I=\mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\). \(f\) est continue sur \(I\) comme produit, somme et composée de fonctions continues. En appliquant le théorème des gendarmes, on montre que \(\sqrt{x}\cos\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) et donc que \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}-1\). On prolonge \(f\) par continuité à droite de \(0\) en posant \(f\left(0\right)=0\). Comme \(\left|f\left(x\right)\right|\xrightarrow[x\rightarrow 1]{}+\infty\), \(f\) n’est pas prolongeable par continuité en \(1\).

  3. \(f\) est définie sur \(I=\mathbb{R}_+ \setminus \pi \mathbb{N}\). Par opérations sur les fonctions continues, \(f\) est continue sur \(I\). De plus \({\scriptstyle x^2\ln x\over\scriptstyle\sin x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}x\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) donc \(f\) est prolongeable par continuité à droite de \(0\). \(f\) est par contre divergente en tout \(x\in\pi\mathbb{N}^*\).

  4. \(f\) est définie sur \(I=\mathbb{R}\setminus\left\{0,1\right\}\). Par opérations sur les fonctions continues, \(f\) est continue sur \(I\). Pour tout \(x\in I\), \(f\left(x\right) = \dfrac{x}{\left(1-x\right)\mathop{\mathrm{sh}}x}\) donc \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{1}{1-x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\). On peut alors prolonger \(f\) par continuité en \(0\) en posant : \(f\left(0\right)=1\). On a aussi : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 1}{\sim} \dfrac{1}{\left(x-1\right)\mathop{\mathrm{sh}} 1}\) qui est divergente en \(1\). \(f\) n’est donc pas prolongeable par continuité en \(1\).


Documents à télécharger