Déterminer sur quel(s) intervalle(s) les fonctions suivantes sont continues :

  1. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{1-x^{n+1}}{1-x} &\textrm{ si } x\neq 1 \\ n+1 &\textrm{ si } x=1 \end{cases} \end{array} \right.\)

  2. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 0 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)

  3. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 0 &\textrm{ si } x=0\end{cases} \end{array} \right.\)

  4. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{1-x}{1-x^2} &\textrm{ si } x\neq 1 \quad \textrm{ et} \quad x\neq -1 \\ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2} &\textrm{ si } x=1 \\ 0 &\textrm{ si } x=-1 \end{cases} \end{array} \right.\)


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[ID: 616] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 358
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:18
  1. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}\) comme quotient de fonctions polynomiales. Si \(x\neq 1\), \({\scriptstyle 1-x^{n+1}\over\scriptstyle 1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n \xrightarrow[x\rightarrow 1]{}\left(n+1\right)=f\left(1\right)\) donc est aussi continue en \(1\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

  2. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions continues. \(f\) n’est par contre pas continue en \(0\). Considérons la suite de terme général : \(u_n=\dfrac{2}{\left(2n+1\right)\pi}\) pour \(n\in\mathbb{N}\). Cette suite converge vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et pourtant la suite \(\left(f\left(u_n\right)\right)\) est divergente car elle admet deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes.

  3. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée et produit de fonctions continues. De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(-x\leqslant x\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \leqslant x\) donc par application du théorème des gendarmes, \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0=f\left(0\right)\). On en déduit que \(f\) est aussi continue en \(0\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

  4. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}\) comme quotient de fonctions polynomiales. Mais, si \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}\), \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x}\) et donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1]{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}=f\left(1\right)\). \(f\) est donc continue en \(1\). Par contre \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -1^+]{}+\infty\) et \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -1^-]{}-\infty\) donc \(f\) n’est pas continue en \(x=-1\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\).


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