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[ID: 616] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 358
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 13 janvier 2021 10:18

1. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{1\right\}\) comme quotient de fonctions polynomiales. Si \(x\neq 1\), \({\scriptstyle 1-x^{n+1}\over\scriptstyle 1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n \xrightarrow[x\rightarrow 1]{}\left(n+1\right)=f\left(1\right)\) donc est aussi continue en \(1\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

2. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions continues. \(f\) n’est par contre pas continue en \(0\). Considérons la suite de terme général : \(u_n=\dfrac{2}{\left(2n+1\right)\pi}\) pour \(n\in\mathbb{N}\). Cette suite converge vers \(0\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) et pourtant la suite \(\left(f\left(u_n\right)\right)\) est divergente car elle admet deux suites extraites qui convergent vers des limites différentes.

3. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée et produit de fonctions continues. De plus, pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\), \(-x\leqslant x\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \leqslant x\) donc par application du théorème des gendarmes, \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0=f\left(0\right)\). On en déduit que \(f\) est aussi continue en \(0\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

4. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}\) comme quotient de fonctions polynomiales. Mais, si \(x\in\mathbb{R}\setminus\left\{-1,1\right\}\), \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{1+x}\) et donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1]{} {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}=f\left(1\right)\). \(f\) est donc continue en \(1\). Par contre \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -1^+]{}+\infty\) et \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -1^-]{}-\infty\) donc \(f\) n’est pas continue en \(x=-1\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}\).