Déterminer sur quel(s) intervalle(s) les fonctions suivantes sont continues :

  1. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases}\dfrac{e^x-1}{x} &\textrm{ si } x\neq 0\\ 1 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)

  2. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} \dfrac{x\mathop{\mathrm{sh}}x}{\mathop{\mathrm{ch}}x -1} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 2 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)

  3. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} x\ln x &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 1 &\textrm{ si } x=0 \end{cases} \end{array} \right.\)

  4. \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \begin{cases} e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} &\textrm{ si } x\neq 0 \\ 0 &\textrm{ si } x=0\end{cases} \end{array} \right.\)


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[ID: 614] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:18] [Catégorie(s): Continuité des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 514
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:18
  1. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme quotient de fonctions continues sur \(\mathbb{R}^*\). De plus : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x}{x}=1\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1=f\left(0\right)\) et \(f\) est aussi continue en \(0\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

  2. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme quotient et produit de fonctions continues sur \(\mathbb{R}^*\). De plus : \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x^2}{\dfrac{x^2}{2}}=2\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}2=f\left(0\right)\) et \(f\) est aussi continue en \(0\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\).

  3. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+^*\) comme produit de fonctions continues sur cet intervalle. De plus, \(x\ln x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0=f\left(0\right)\) donc \(f\) est aussi continue en \(0\). En conclusion, \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}_+\).

  4. \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\) comme composée de fonctions continues. Par opérations sur les limites : \(e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0=f\left(0\right)\) et \(e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{}+\infty\) donc \(f\) n’est que continue à droite en \(0\).


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