Soient \(a,b >0\). Déterminer la limite en \(+\infty\) de \[f\left(x\right)= \left( a^x + b^x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\]


Barre utilisateur

[ID: 612] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 590
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04
  • Si \(a\neq b\). On peut supposer par exemple que \(a>b\). Alors \[f(x)=(a^x+b^x)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} = a\left( 1+ x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} = ae^{\alpha(x)}\]\(\alpha(x)=\dfrac{1}{x}\ln\left( 1+\left(\dfrac{b}{a}\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}\right)\). Mais puisque \(\dfrac{b}{a}<1\), \(\left(\dfrac{b}{a}\right)^{{x}} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\) et donc \(\alpha(x)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{1}{x}\left(\dfrac{b}{a}\right)^x=\dfrac{e^{x\ln{\scriptstyle b\over\scriptstyle a}}}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 0\). Donc \[\boxed{ f(x) \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}a}\]

  • Si \(a=b\), alors \[f(x)=2^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}a =ae^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\ln2} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{ a}\]

Dans tous les cas, \[f(x)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{\max(a,b)}\]


Documents à télécharger