Soit \(a\in \mathbb{R}\). Calculer la limite en \(+\infty\) de \[f\left(x\right)= \sqrt{x^2+2x-3} - ax\]


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[ID: 610] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 696
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Remarquons que si \(a\leqslant 0\), alors \(f(x)\rightarrow +\infty\). Supposons donc \(a>0\). En utilisant les quantités conjuguées, il vient que : \[f(x)=\sqrt{x^2+2x-3}-\sqrt{a^2x^2}= \dfrac{(1-a^2)x^2+2x-3}{\sqrt{x^2+2x-3}+\sqrt{a^2x^2}}\] Si \(a\neq 1\), on a alors : \[f(x)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{(1-a^2)}{1+a} x\] et si \(a=1\), \(f(x)\underset{x \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{2x}{2x} \underset{x \rightarrow +\infty}{\sim}1\). On peut alors conclure :

  • si \(a\in ]-\infty,1[\) alors \(f(x)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty\).

  • si \(a=1\) alors \(f(x)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} 1\).

  • si \(a>1\) alors \(f(x)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} -\infty\).


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