Montrer que la fonction \[f(x)=\dfrac{x^x}{ \left\lfloor x \right\rfloor^{\left\lfloor x \right\rfloor}}\] n’admet pas de limite lorsque \(x\rightarrow +\infty\).
( ).
On pourra pour cela introduire deux suites \(\left(u_n\right)\) et \(\left(v_n\right)\) de terme général \(u_n = n \textrm{ et } v_n = n+a_n\) avec \(\left(a_n\right)\) telle que : \(\forall n\geqslant 1\), \(0<a_n<1\) avec \(a_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\).

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[ID: 606] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 970
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Soit \(n\in \mathbb{N}^{*}\). Il vient que \(f(u_n)=1\) et que \(f(v_n)=e^{ (n+a_n)\ln(n+a_n)-n\ln n}=e^{\alpha_n}\). Posons \(\alpha_n=(n+a_n)\ln(n+a_n)-n\ln n\) et développons cette expression : \[\alpha_n = a_n\ln n +(n+a_n)\ln(1+\dfrac{a_n}{n})\] Comme \(a_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\), \(\dfrac{a_n}{n}\rightarrow 0\) et donc \((n+a_n)\ln(1+\dfrac{a_n}{n})\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{(n+a_n)a_n}{n}\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} 1\). D’autre part, \(a_n\ln n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\) et finalement \(\alpha_n \rightarrow +\infty\).

En conclusion, \(f(u_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\), \(f(v_n)\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\). Par conséquent, \(f\) n’admet pas de limite en \(+\infty\).


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