Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow 0^+\) de la fonction \[f(x)=\dfrac{(1+x)^{x^x}}{\sin(\pi x^x ) }\]


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[ID: 604] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 446
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Soit \(g(x)=(1+x)^{x^x}=e^{\ln(1+x)e^{x\ln x}}\). Comme \(x\ln x \rightarrow 0\), lorsque \(x\rightarrow 0\), \(e^{x\ln x} \rightarrow 1\) et donc \(e^{x\ln x}\underset{x \rightarrow 0}{\sim} 1\). Par conséquent, \(g(x)\underset{x \rightarrow 0}{\sim} 1\).

D’autre part, \(h(x)=\sin(\pi x^x)= \sin(\pi(e^{x\ln x}-1) + \pi)=-\sin(\pi(e^{x\ln x}-1))\underset{x \rightarrow 0}{\sim} -\pi(e^{x\ln x}-1)\underset{x \rightarrow 0}{\sim} -\pi(x\ln x)\). Finalement, \(\boxed{ f(x)\underset{x \rightarrow 0}{\sim}-\dfrac{1}{\pi x\ln x} }\).


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