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[ID: 602] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]

Solution(s)

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Exercice 549
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 13 janvier 2021 10:04

Effectuons le changement de variables \(h=x-1\) : \[g(h)=f(1+h)=e^{2(1+h)\ln(1+h)}-e^{-\sin(\pi h)} =\alpha(h)-\beta(h)\] où \[\alpha(h)=e^{2(1+h)\ln(1+h)}-1 \underset{h \rightarrow 0}{\sim} 2h \quad \textrm{ et} \quad \beta(h)=e^{-\sin(\pi h)}-1 \underset{h \rightarrow 0}{\sim} -\sin(\pi h)\underset{h \rightarrow 0}{\sim} -\pi h\] Montrons alors que \(g(h)\underset{h \rightarrow 0}{\sim} (2+\pi)h\): \[\dfrac{g(h)}{(2+\pi)h} = \dfrac{\alpha(h)}{(2+\pi)h} - \dfrac{\beta(h)}{(2+\pi)h}\] avec \(\dfrac{\alpha(h)}{(2+\pi)h}\underset{h \rightarrow 0}{\sim} \dfrac{2}{(2+\pi)}\) et \(\dfrac{\beta(h)}{(2+\pi)h}\underset{h \rightarrow 0}{\sim} \dfrac{-\pi}{2+\pi}\). On a bien que \(\dfrac{g(h)}{(2+\pi)h} \rightarrow 1\). Par conséquent, \[\boxed{ f(x)\underset{x \rightarrow 1}{\sim} (2+\pi)(x-1) }\]