Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow \pi\) de \[f(x)=e^{\sin x} + \cos x\]


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[ID: 600] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 592
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Effectuons le changement de variables \(h=x-\pi\). On obtient : \[g(h)=f(\pi+h)=e^{-\sin h} - \cos h =\left( e^{-\sin h}-1 \right) + \left( 1-\cos h\right) = \alpha(h)+\beta(h)\] Puisque \(\alpha(h)\underset{h \rightarrow 0}{\sim} -\sin h \sim -h\) et que \(\beta(h)\underset{h \rightarrow 0}{\sim} \dfrac{h^2}{2}\), il vient que \(\beta(h)=o(\alpha(h))\) et donc que \(g(h)\sim \alpha(h)\sim -h\). Par conséquent, \(\boxed{f(x) \underset{x \rightarrow \pi}{\sim} (\pi-x) }\).


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