Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction définie par \[f(x) = \dfrac{\ln\left(x^2+1\right) - \ln\left(2x^2-1\right)}{ \ln\left(x^3+1\right) - \ln\left(x^3-1\right)}\]


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[ID: 598] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 423
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Cherchons un équivalent du numérateur \(n\left(x\right)\) puis du dénominateur \(d\left(x\right)\) de cette expression: \[\begin{aligned} n(x) &= \ln(x^2+1) - \ln(2x^2-1) = \ln x^2 + \ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right) - \ln(2x^2) - \ln\left( 1 - \dfrac{1}{2x^2}\right) \\ &= 2\ln x - \ln 2 - 2\ln x + \ln\left(1+\dfrac{1}{x^2} \right) -\ln\left(1-\dfrac{1}{2x^2}\right) = -\ln 2 + \ln\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right) - \ln\left(1-\dfrac{1}{2x^2} \right) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} -\ln 2 \end{aligned}\] \[\begin{aligned} d(x) &= \ln(x^3 + 1) - \ln(x^3 - 1) = \ln\left( \dfrac{x^3+1}{x^3-1}\right) \\ &= \ln\left(\dfrac{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^3}}{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^3}} \right) = \ln\left( 1 + \dfrac{{\scriptstyle 2\over\scriptstyle x^3}}{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^3}}\right) \underset{x \rightarrow 0}{\sim}\dfrac{2}{x^3} \end{aligned}\] Par conséquent, on trouve que \[\boxed{ f(x) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} -\dfrac{\ln 2}{2} x^3}\]


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