Trouver un équivalent simple lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction définie par \[f(x) = \ln\left( e^{x^2+1} - x^2\right) + \ln\left(x^2 - 1\right)\]


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[ID: 596] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 324
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Écrivons : \[\begin{aligned} f(x) &=\ln\left[ e^{x^2+1}\left( 1 - \dfrac{x^2}{e^{x^2+1}}\right)\right] + \ln\left[ x^2\left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right) \right] \\ &= x^2 + 2\ln x + 1 + \ln\left( 1 - \dfrac{x^2}{e^{x^2+1}}\right) + \ln\left( 1 - \dfrac{1}{x^2} \right) \\ &\underset{x \rightarrow 0}{\sim} x^2 \end{aligned}\] Car \(\dfrac{\ln x}{x^2} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0, \dfrac{\ln\left( 1 - \dfrac{x^2}{e^{x^2+1}}\right) }{x^2}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0, \dfrac{\ln\left( 1 -\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\). Donc \(\boxed{ f(x)\underset{x \rightarrow 0}{\sim} x^2}\).


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