Trouver un équivalent lorsque \(x\rightarrow +\infty\) de la fonction \[f(x) = x^{\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2+1}\right) } - 1\]


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[ID: 594] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 309
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Mettons \(f\left(x\right)\) sous forme exponentielle : \[f(x) = e^{\sin\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2+1}\right) \ln x } -1\] En posant \(\alpha(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x^2+1}\right) \ln x\), on a : \[\alpha(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \dfrac{\ln x}{x^2} \xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} 0\] Et donc on peut utiliser l’équivalent classique pour l’exponentielle et il vient que : \(f(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \alpha(x) \underset{x \rightarrow 0}{\sim} \boxed{ \dfrac{\ln x}{x^2} }\).


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