Trouver la limite lorsque \(x\rightarrow \pi^+\) de la fonction \[f(x) = \left( 1 + \cos x \right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin x}}\]


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[ID: 592] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 563
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04

Par le changement de variables \(h=x-\pi\), on se ramène à trouver la limite lorsque \(h\rightarrow 0^+\) de la fonction \[g(h)= f(\pi + h) = \left( 1-\cos h\right)^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin h}} = e^{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sin h} \ln\left( 1 - \cos h\right)}\] Posons \(\alpha(h)=-\dfrac{1}{\sin h} \ln(1-\cos h)\). D’après l’équivalent classique pour le cosinus, on a \(1-\cos h \underset{h \rightarrow 0}{\sim} \dfrac{h^2}{2}\) donc on peut écrire \(1-\cos h = \dfrac{h^2}{2} \theta(h)\) avec \(\theta\) une fonction vérifiant : \(\theta(h) \rightarrow 1\). Alors \[\ln(1-\cos h) = \ln\left( \dfrac{h^2}{2}\theta(h) \right) = 2 \ln h - \ln 2 + \ln \theta(h)\] et donc \[\ln(1-\cos h) \underset{h \rightarrow 0}{\sim} 2\ln h\] Par suite, il vient que \[\alpha(h) \underset{h \rightarrow 0}{\sim}-\dfrac{2\ln h}{h} \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} -\infty\] et par conséquent \(g(h) \rightarrow 0\) et donc \(\boxed{f(x) \xrightarrow[x \rightarrow \pi^+]{} 0}\).


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