Déterminer lorsqu’elles existent les limites en le nombre indiqué des fonctions suivantes :

  1. \(f(x) =\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}\) en \(x=0\).

  2. \(f(x) =\dfrac{\ln x}{x^2 - 1}\) en \(x=1\).

  3. \(f\left(x\right)=\dfrac{\sin\left(e^{x}\right)}{\tan \left(\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)}\) en \(x=-\infty\).

  4. \(f\left(x\right)= \dfrac{\operatorname{arctan} x - \operatorname{arctan} a}{\log_a x -1}\) en \(x=a\in \mathbb{R}_+^*\setminus\left\{1\right\}\)

  5. \(f(x) =\dfrac{\mathop{\mathrm{argsh}}x}{\ln x}\) en \(x=+\infty\)

  6. \(f\left(x\right)= \left(\ln x - 1 \right)\left(\ln\left(x-e\right)\right)\) en \(x=e\)


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[ID: 590] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 702
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04
  1. \(f(x) =\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{\sqrt[3]{1+x}-1}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}x}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 3 } x}=\dfrac{3}{2}\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{\dfrac{3}{2}}\).

  2. Posant \(h=x-1\), \(f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2 - 1} = \dfrac{\ln \left(1+h\right)}{h+h^2} \underset{h\rightarrow 0}{\sim} 1 \xrightarrow[h\rightarrow 0]{} \boxed{1}\)

  3. Comme \(e^{x}\xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}0\), on a : \(f\left(x\right)=\dfrac{\sin\left(e^{x}\right)}{\tan \left(\ln\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\right)}\underset{x\rightarrow -\infty}{\sim}\dfrac{e^{x}}{\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)} \underset{x\rightarrow -\infty}{\sim}\dfrac{e^x}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}=xe^x\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow -\infty]{}\boxed{0}\)

  4. \(f\left(x\right)= \dfrac{\operatorname{arctan} x - \operatorname{arctan} a}{\log_a x -1}=\dfrac{\operatorname{arctan} x - \operatorname{arctan} a}{x-a}\dfrac{x-a}{\log_a x -1}\). Mais, en reconnaissant des taux d’accroissements : \(\dfrac{\operatorname{arctan} x - \operatorname{arctan} a}{x-a}\xrightarrow[x\rightarrow a]{} \dfrac{1}{a^2+1}\) et \(\dfrac{\log_a x -1}{x-a}\xrightarrow[x\rightarrow a]{}\dfrac{1}{a\ln a}\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow a]{} \boxed{\dfrac{a\ln a}{a^2+1}}\)

  5. \(f(x) = \dfrac{\mathop{\mathrm{argsh}}x}{\ln x} = \dfrac{\ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln x}= \dfrac{\ln x+\ln\left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\right)}{\ln x} = 1+\dfrac{\ln\left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\right)}{\ln x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{1}\) car \(\ln\left(1+\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\ln 2\). On peut aussi effectuer ce calcul par un changement de variable : \(\dfrac{\mathop{\mathrm{argsh}} x}{\ln x} \xlongequal{x=\mathop{\mathrm{sh}}X} \dfrac{X}{\ln \mathop{\mathrm{sh}}X} = \dfrac{X}{X + \ln \left({\scriptstyle 1-e^{-2X}\over\scriptstyle 2}\right)} = \dfrac{1}{1+ {\scriptstyle\ln \left({\scriptstyle 1-e^{-2X}\over\scriptstyle 2}\right)\over\scriptstyle X} }\xrightarrow[X\rightarrow +\infty]{}\boxed{1}\)

  6. \(f\left(x\right)= \left(\ln x - 1 \right){\ln\left(x-e\right)}=\dfrac{\ln x-\ln e}{x-e}\left(x-e\right)\ln\left(x-e\right)\). Mais, en reconnaissant le taux d’accroissement de la fonction \(\ln\) en \(e\) : \(\dfrac{\ln x-\ln e}{x-e}\xrightarrow[x\rightarrow e]{}\dfrac{1}{e}\) et \(\left(x-e\right)\ln\left(x-e\right)\xlongequal{X=x-e}X\ln X\xrightarrow[X\rightarrow 0]{}0\). Donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow e]{}\boxed{0}\).


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