Déterminer lorsqu’elles existent les limites des fonctions suivantes en le nombre indiqué :

  1. \(f\left(x\right) = \dfrac{\tan x - \sin 3x}{\ln \left(1+x\right)}\) en \(x=0\).

  2. \(f\left(x\right)=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x - 1}{\operatorname{arcsin} ^2 x}\) en \(x=0\).

  3. \(f\left(x\right)=\dfrac{2x+\sin 3x}{x\sin x}\) en \(x=0^+\).

  4. \(f\left(x\right)=\dfrac{2\tan x+\mathop{\mathrm{sh}}5x}{\sin^3 x}\) en \(x=0\)

  5. \(f\left(x\right) = \dfrac{\ln \left(x\right)}{\sqrt{x}-1}\) en \(x=1\).

  6. \(f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt{1+x}\right)-\dfrac{\operatorname{arccos} x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\) en \(x=0\)


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[ID: 586] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 675
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04
  1. \(f\left(x\right) = \dfrac{\tan x - \sin 3x}{\ln \left(1+x\right)}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{\tan x - \sin 3x}{x}\) et \(\dfrac{\tan x}{x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}{\scriptstyle x\over\scriptstyle x}=1\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\), \(\dfrac{\sin 3x}{x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}{\scriptstyle 3x\over\scriptstyle x}=3\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}3\). Donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{-2}\).

  2. \(f\left(x\right)=\dfrac{\mathop{\mathrm{ch}}x - 1}{\operatorname{arcsin} ^2 x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac{1}{2}\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{\dfrac{1}{2}}\).

  3. On a : \(\dfrac{2x}{x\sin x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}+\infty\) et \(\dfrac{\sin 3x}{x\sin x}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{3x}{x^2}=\dfrac{3}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}+\infty\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}\boxed{+\infty}\).

  4. On a : \(\dfrac{2\tan x}{\sin^3 x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{2}{x^2}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}+\infty\) et \(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}5x}{\sin^3 x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{5}{x^2}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}+\infty\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{} \boxed{+\infty}\).

  5. \(f\left(x\right) = \dfrac{\ln \left(x\right)}{\sqrt{x}-1}\xlongequal{X=x-1}\dfrac{\ln\left(1+X\right)}{\sqrt{1+X}-1}\underset{X\rightarrow 0}{\sim} \dfrac{X}{{\scriptstyle X\over\scriptstyle 2}}=2\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 1]{}\boxed{2}\).

  6. \(\dfrac{\operatorname{arccos} x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}{\mathop{\mathrm{sh}}x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{-x}{x}=-1\). De plus : \(\ln\left(\sqrt{1+x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(1+x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{x}{2} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) donc \(f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{1}\).


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