Déterminer un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du point considéré:

  1. \(f(x)=\ln\left(\cos x\right)\) en \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}^-\)

  2. \(f(x)=\ln\left(1+\sin x\right)\) en \(0\)

  3. \(f(x)={\scriptstyle x\over\scriptstyle 1-\sin x} -x\) en \(0\).

  4. \(f(x)=\sqrt{\ln\left(x+1\right)-\ln \left(x\right)}\) en \(+\infty\)

  5. \(f(x)=\dfrac{x^3-2x^2-1}{2x^5+x^2} \ln\left(1+\sqrt x\right)\) en \(0^+\).

  6. \(f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt{1+\sin x}\right)\) en \(x=0\).


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[ID: 584] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 555
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04
  1. \(f\left(x\right) =\ln\left(\cos x\right) \xlongequal{X={\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-x} \ln\left(\cos\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-X\right)\right)=\ln\left(\sin X\right)=\ln{\scriptstyle\sin X\over\scriptstyle X}+\ln X=\ln\left(X\right)\left(\dfrac{\ln{\scriptstyle\sin X\over\scriptstyle X}}{\ln\left(X\right)}+1\right)\underset{X\rightarrow 0^+}{\sim}\ln X\). Donc \(f\left(x\right) \underset{x\rightarrow {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}^-}{\sim}\boxed{\ln\left({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}-x\right)}\).

  2. \(f(x)=\ln\left(1+\sin x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} \sin x\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{x}\)

  3. \(f(x)=\dfrac{x}{1-\sin x} -x =\dfrac{x\sin x}{1-\sin x}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{x^2}\). On peut aussi remarquer que \(f(x)=x\left(\left(1-\sin x\right)^{-1} -1\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim} x\sin x\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{x^2}\).

  4. \(f\left(x\right)=\sqrt{\ln\left(x+1\right)-\ln \left(x\right)}= \sqrt{\ln\left(\dfrac{x+1}{x}\right)}= \sqrt{\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)} \underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}\boxed{ \dfrac{1}{\sqrt x}}\)

  5. \(f(x)=\dfrac{x^3-2x^2-1}{2x^5+x^2} \ln\left(1+\sqrt x\right) \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} -\dfrac{\sqrt x}{x^2\left(2x^3+1\right)}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\boxed{-x^{-{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}}\) car \(2x^3+1\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}1\).

  6. \(f\left(x\right)=\ln\left(\sqrt{1+\sin x}\right)=\dfrac{1}{2}\ln\left(1+\sin x\right)\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\dfrac{\sin x}{2}\underset{x\rightarrow 0}{\sim}\boxed{\dfrac{x}{2}}\)


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