Déterminer un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du point considéré:

  1. \(f\left(x\right)=\dfrac{2x}{\left|x-2\right|}-\dfrac{x-1}{\left|x^2-4\right|}\) en \(2\).

  2. \(f(x)=x^2\mathop{\mathrm{argsh}}{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\) en \(+\infty\)

  3. \(f\left(x\right)= \sqrt{\dfrac{x^5}{2x+5}}\) en \(+\infty\).

  4. \(f\left(x\right)=\ln\left(\cos x\right)\) en \(x=0\)

  5. \(f(x)=\ln\left(\sin x\right)\) en \(0^+\).

  6. \(f\left(x\right)= \dfrac{\left(2+x\right)\ln\left(1+\sqrt x\right)}{\sin^2 x}\) en \(0^+\).


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[ID: 582] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 779
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04
  1. \(f\left(x\right)=\dfrac{2x}{\left|x-2\right|}-\dfrac{x-1}{\left|x^2-4\right|}=\dfrac{1}{\left|x-2\right|}\left(2x - \dfrac{x-1}{\left|x+2\right|}\right) \underset{x\rightarrow 2}{\sim} \boxed{\dfrac{15}{4\left|x-2\right|}}\)

  2. \(f(x) \underset{x\rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{x^2}{x}=\boxed{x}\) par produit d’équivalents.

  3. \(f\left(x\right)= \sqrt{\dfrac{x^5}{2x+5}}=\dfrac{x^{{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 2}}}{x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}}\dfrac{1}{\sqrt { 2+{\scriptstyle 5\over\scriptstyle x}}}\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim}\boxed{\dfrac{x^2}{\sqrt{2}}}\)

  4. \(f(x) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} -{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}\) car \(\ln\left(\cos x\right)= \ln\left(1-\left(1-\cos x\right)\right) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} 1-\cos x \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{{\scriptstyle x^2\over\scriptstyle 2}}\).

  5. \(f(x) =\ln\left(\sin x\right)=\ln\dfrac{\sin x}{x}+\ln x=\ln x\left( \dfrac{\ln{\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}}{\ln x} +1 \right)\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \boxed{\ln x }\) car \(\dfrac{\sin x}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}1\) et \(\dfrac{\ln{\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}}{\ln x}\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\).

  6. \(f\left(x\right)= \dfrac{\left(2+x\right)\ln\left(1+\sqrt x\right)}{\sin^2 x} \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{2\sqrt{x}}{x^2}=\boxed{2x^{-{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}}\)


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