Déterminer un équivalent simple pour les fonctions suivantes au voisinage du point considéré:

  1. \(f(x)=\dfrac{\ln\left(1+ \tan x\right)}{\sqrt{\sin x}}\) en \(0^+\)

  2. \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x^3-1}}{\sqrt[3]{x^2+2}}\) en \(+\infty\)

  3. \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\cos x}-\tan x\) en \({\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\).

  4. \(f(x)=\cos\left(\sin x\right)\) en \(0\).

  5. \(f\left(x\right)=x^x-1\) en \(0^+\).

  6. \(f\left(x\right)= \dfrac{\cos\left(\pi x\right)}{\sqrt{x^2-2x+1}}\) en \(1\).


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[ID: 580] [Date de publication: 13 janvier 2021 10:04] [Catégorie(s): Comparaison des fonctions numériques ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 925
Par emmanuel le 13 janvier 2021 10:04
  1. \(f(x)=\dfrac{\ln\left(1+ \tan x\right)}{\sqrt{\sin x}}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{\tan x}{\sqrt{ x}} \underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{x}{\sqrt x}=\boxed{\sqrt x}\)

  2. \(f(x) =\dfrac{x^{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}{x^{{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}}} \dfrac{\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^3}}}{\sqrt[3]{1+{\scriptstyle 2\over\scriptstyle x^2}}}\underset{x\rightarrow +\infty}{\sim} \boxed{x^{{\scriptstyle 5\over\scriptstyle 6}} }\)

  3. \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{\cos x}-\tan x=\dfrac{1-\sin x}{\cos x}\xlongequal{X=x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}\dfrac{1-\sin\left(X+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right)}{\cos \left(X+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right)} = \dfrac{1-\cos X}{-\sin X}\underset{X\rightarrow 0}{\sim}-\dfrac{X}{2}\). Donc \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow \dfrac{\pi}{2}}{\sim} \boxed{-\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4}}\)

  4. \(f(x) \underset{x\rightarrow 0}{\sim} \boxed{1}\) car \(\cos\left(\sin x\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\).

  5. \(f\left(x\right)=x^x-1=e^{x\ln x}-1\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim} \boxed{x\ln x}\) car \(x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\)..

  6. \(\cos\left(\pi x\right)\underset{x\rightarrow 1}{\sim}-1\) et \(x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\) donc \(f\left(x\right)\underset{x\rightarrow 1}{\sim}\boxed{-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\left|x-1\right|}}\)


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