Trouver les entiers \(n\in \mathbb N\) tels que \(\bigl(\sqrt{3} + i\bigr)^n\) soit réel.


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[ID: 9] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:21] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]




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Exercice 167
Par emmanuel le 25 novembre 2020 09:21

Comme \(\sqrt{3} + i=2e^{i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 6}}\), si \(n\in\mathbb{N}\) :\(\bigl(\sqrt{3} + i\bigr)^n=2^n e^{in{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 6}}\). Ce nombre est réel si et seulement si \(n{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 6} \equiv 0 ~ \left[\pi\right]\) c’est-à-dire si et seulement si \(n\) est un multiple de \(6\).


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