1. Soit \(\theta\in\left[-\pi,\pi\right]\). Déterminer le module et un argument de : \(e^{i\theta}+1 \quad \textrm{ et} \quad e^{i\theta}-1\).

  2. En déduire le module et un argument, pour \(\theta\in\left]-\pi,\pi\right[\), de : \[\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta+1}{\cos\theta+i\sin\theta-1}.\]


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[ID: 7] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:21] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]




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Exercice 108
Par emmanuel le 25 novembre 2020 09:21
  1. Par factorisation par les angles moitiés (voir proposition page ), on trouve  : \[z=e^{i\theta}+1=e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left(e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}+e^{-i{\scriptstyle \theta \over\scriptstyle 2}}\right)=2\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}.\] Il reste à étudier le signe de \(\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\). Comme \(\theta\in\left[-\pi,\pi\right]\), alors \({\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\in\left[-\pi/2,\pi/2\right]\) et \(\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} \geqslant 0\). Il vient donc : \(\boxed{\left|z\right|=2\cos {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\) et \(\boxed{\arg\left(z\right)={\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}~\left[2\pi\right]}\). On montre de même que si \(z'=e^{i\theta}-1\) alors : \[z'=e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}\left(e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}-e^{-i{\scriptstyle \theta \over\scriptstyle 2}}\right)=2i\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}=2\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{i\left({\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}+{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}\right)}.\] On étudie alors le signe de \(\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\). Comme \(\theta\in\left[-\pi,\pi\right]\), \(\sin\theta/2 \geqslant 0\) si \(\theta\in\left[0,\pi\right]\) et \(\sin\theta/2 < 0\) si \(\theta\in\left[-\pi,0\right[\). Donc : \[\boxed{\left|z'\right|=2\left|\sin {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}\right|} \quad \textrm{ et} \quad\boxed{\arg\left(z'\right)=\begin{cases} \dfrac{\theta+\pi}{2} ~\left[2\pi\right]&\textrm{ si } \theta\in\left[0,\pi\right]\\ \dfrac{\theta+3\pi}{2} ~\left[2\pi\right] &\textrm{ si } \theta\in\left[-\pi,0\right[\end{cases}}\]

  2. En utilisant les résultats de la question précédente, on obtient : \[Z=\dfrac{\cos\theta+i\sin\theta+1}{\cos\theta+i\sin\theta-1} =\dfrac{e^{i\theta}+1}{e^{i\theta}-1}= \dfrac{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}}{e^{i{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}} \dfrac{ 2\cos{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}{2i\sin{\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2}}= \mathop{\mathrm{cotan}} {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} e^{-i{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}\] On obtient \(\left|Z\right|=\left|z\right|/\left|z'\right|=\boxed{\left|\mathop{\mathrm{cotan}} {\scriptstyle\theta\over\scriptstyle 2} \right|}\) et \(\arg\left(Z\right)=\arg\left(z\right)-\arg\left(z'\right)=\boxed{\begin{cases}-\pi/2 &\textrm{ si } \theta\in\left[0,\pi\right[\\ -{\scriptstyle 3\pi\over\scriptstyle 2} ~\left[2\pi\right] &\textrm{ si } \theta\in\left]-\pi,0\right[\end{cases}}\).


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