On donne les nombres complexes \[z_1=(\sqrt 6+ i\,\sqrt 2)\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 4}+i\, {\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 4}\right) \quad \textrm{ et} \quad z_2=\dfrac{-1+i\,\sqrt 3}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}}.\]

  1. Mettre \(z_1\) et \(z_2\) sous forme algébrique \(a+i\,b\).

  2. Déterminer le module puis un argument de \(z_1\), \(z_2\) et \(z_1z_2\).

  3. Déterminer le module puis un argument de \(Z={\scriptstyle z_1\over\scriptstyle z_2}\), \(Z'=z_2^6\). Écrire \(Z\) et \(Z'\) sous forme algébrique.


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[ID: 3] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:20] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

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Exercice 968
Par emmanuel le 25 novembre 2020 09:20
  1. Un calcul direct donne : \(z_1=\boxed{i\sqrt 2}\). De plus : \(z_2=\dfrac{-1+i\,\sqrt 3}{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}} = \dfrac{\left(-1+i\,\sqrt 3\right)\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}-i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}\right)}{\left|{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}+i\,{\scriptstyle\sqrt 3\over\scriptstyle 2}\right|}=\boxed{1+i\sqrt 3}\).

  2. Il est alors clair que \(z_1=\boxed{\sqrt{2}e^{i\pi/2}}\) et que \(z_2=2\left(1/2+\sqrt 3/2 i\right)=\boxed{2e^{i\pi/3}}\).

  3. Comme \(Z=z_1/z_2=\sqrt 2/2 e^{i\left(\pi/2-\pi/3\right)}=\sqrt 2/2e^{i\pi/6}\), il vient \(\boxed{\left|Z\right|=\sqrt{2}/2}\) et \(\boxed{\arg\left(Z\right)=\pi/6 ~\left[2\pi\right]}\) d’où \(\boxed{Z=\dfrac{\sqrt 2}{4}\left(\sqrt 3 +i\right)}\). De même, \(Z'=z_2^6 = \left(2 e^{i\pi/3}\right)^6=64 e^{i2\pi}=\boxed{64}\).


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