On considère, pour \(\theta \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb N\), le complexe \(z = \left[ 1 - \sin\theta + i\cos\theta\right] ^n\). Déterminer les réels \(\theta\) tels que \(\mathop{\mathrm{Re}}(z) = 0\).


Barre utilisateur

[ID: 11] [Date de publication: 25 novembre 2020 09:21] [Catégorie(s): Forme algébrique - Forme trigonométrique ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 1 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ]




Solution(s)

Solution(s)

Exercice 885
Par emmanuel le 25 novembre 2020 09:21

En utilisant la factorisation par les angles moitiés (voir proposition page ), on trouve  : \[z = [1+ e^{i(\pi/2 + \theta)}]^n = 2^n\cos^n(\pi/4+\theta/2)e^{in(\pi/4 +\theta/2)}\] et donc : \[\mathop{\mathrm{Re}}(z) = 2^n cos^n(\pi/4 + \theta/2)\cos(n\pi/4 + n\theta/2)\] Par suite : \(\mathop{\mathrm{Re}}(z) = 0\) si et seulement si \(\boxed{\theta = 2k\pi + \pi/2}\) ou \(\boxed{\theta = (2k+1)\pi/n - \pi/2}\)\(k \in \mathbb{Z}\).


Documents à télécharger