Déterminer la limite lorsque \(x\rightarrow 1^{+}\) de la fonction définie par : \[f(x)= \dfrac{ x^x - x}{ \ln (1+\sqrt{x^2-1}) }\]


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[ID: 578] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 287
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28

On utilise les équivalents usuels : \[\begin{split} f(x)= \dfrac{ x^x - x}{ \ln (1+\sqrt{x^2-1}) } = x\dfrac{x^{x-1}-1}{\ln (1+\sqrt{\left(x-1\right)\left(x+1\right)})}\xlongequal{X=x-1}\left(X+1\right)\dfrac{\left(X+1\right)^X-1}{\ln\left( 1+\sqrt{X\left(X+2\right)}\right) }\\ \underset{X\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{e^{X\ln\left(1+X\right)}-1}{\ln\left(1+\sqrt{X\left(X+2\right)}\right)} \underset{X\rightarrow 0^+}{\sim} \dfrac{X\ln\left(1+X\right)}{\sqrt{X\left(X+2\right)}}\underset{X\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{\sqrt{X}\ln\left(1+X\right)}{ \sqrt 2}\xrightarrow[X\rightarrow 0^+]{}\boxed{0}\end{split}\]


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