Trouver la limite lorsque \(x\rightarrow 0^{+}\) de la fonction définie par : \[f(x)= \dfrac{ x^{x^x} \ln x}{ x^x -1}\]


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[ID: 576] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 237
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28

On utilise les équivalents usuels : \[f\left(x\right)=\dfrac{ x^{x^x} \ln x}{ x^x -1} = \dfrac{x^{x^x}\ln x}{e^{x\ln x}-1}\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}\dfrac{x^{x^x}\ln x}{x\ln x}=x^{x^x -1}\] car \(x\ln x\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\). Mais \(x^{x^x -1}=e^{\left({x^x -1}\right)\ln x}\) et \(x^x-1=e^{x\ln x }-1\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}x\ln x\) donc \(\left({x^x -1}\right)\ln x\underset{x\rightarrow 0^+}{\sim}x\ln^2 x \xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}0\) donc par composition de limite \(\boxed{f\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}e^0=1}\).


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