Calculer \(\lim_{x\rightarrow 0^+} \dfrac{ E(1/x)+x}{E(1/x)-x}\)


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[ID: 574] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 603
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28

La fonction \[f(x)=\dfrac{ E({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x})+x}{E({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x})-x}\] est bien définie pour \(x\in ]0,1[\), car \(E({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x})\geqslant 1>x\). Encadrons \[\dfrac{1}{x}-1 < E(\dfrac{1}{x}) \leqslant\dfrac{1}{x}\] et donc \[\dfrac{ \dfrac{1}{x}+x-1}{\dfrac{1}{x}-x} \leqslant f(x) \leqslant \dfrac{ \dfrac{1}{x}+x}{\dfrac{1}{x}-x-1}\] \[\Rightarrow \dfrac{1+x^2-x}{1-x^2} \leqslant f(x) \leqslant\dfrac{1+x^2}{1-x^2-x}\] et par le théorème des gendarmes, on obtient que \(f(x)\xrightarrow[x \rightarrow 0^+]{} 1\).


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