Montrer que la fonction \(f\) définie sur \(]0, +\infty[\) par \(f(x)=\cos( ln(x))\) n’admet pas de limite en \(+ \infty\).


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[ID: 572] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 636
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28

Définissons les suites \(\left(x_n\right)\) et \(\left(y_n\right)\) par, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(x_n=e^{2n\pi}\) et \(y_n=e^{2n\pi + {\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}\). Elles tendent toutes les deux vers \(+\infty\). Supposons que \(f(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\). Alors \(f(x_n) \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}l\) or pour tout \(n\in \mathbb N\), \(f(x_n)=1\). Donc \(l=1\). Mais de même, puisque \(f(y_n)=0\), on devrait avoir \(l=0\), ce qui rentre en contradiction avec l’unicité de la limite. Donc \(f\) n’admet pas de limite en \(+\infty\).


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