Soit la fonction \(g\) donnée sur \(\mathbb{R}^*\) par \(g(x)=\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\). Montrer que \(g\) n’a pas de limite en \(0\).


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[ID: 570] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 230
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28

Considérons la suite \(\left(x_n\right)\) de terme général donné par, pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(x_n={ \dfrac{1}{{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}+ n \pi} }\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on a : \(g\left(x_n\right)=\left(-1\right)^{n}\). La suite \(\left(g\left(x_n\right)\right)\) est donc divergente alors que la suite \(x_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Donc par le théorème de composition d’une suite par une fonction, \(g\) ne peut admettre de limite en \(0\).


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