Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} {\scriptstyle 2 \cos ^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}-\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}+3\over\scriptstyle x+\sqrt x} }\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\sin x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\ln x}}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \to -1} \dfrac{x^3+x^2-x-1}{x^3-3x-2}}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sqrt{1+\sin x} -\sqrt{1- \sin x}}{x}}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\tan x}{x}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)^x}\)


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[ID: 566] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 650
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28
  1. Pour tout \(x\in\mathbb{R}_+\) : \(2 \leqslant 2 \cos ^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}-\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}+3\) donc par application du théorème des gendarmes : \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \dfrac{2 \cos ^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}-\sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}+3}{x+\sqrt x} }=+\infty\)

  2. \(\left(\sin x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\ln x}} = e^{\dfrac{\ln \sin x}{\ln x}} = e^{\dfrac{\ln {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}-\ln x}{\ln x}} = e^{\dfrac{\ln {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}}{\ln x}-1}\) mais \({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\) donc \(\dfrac{\ln {\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}}{\ln x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}0\) et \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(\sin x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\ln x}}}=\boxed{e^{-1}}\)

  3. \(\dfrac{x^3+x^2-x-1}{x^3-3x-2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-1\right)}{\left(x+1\right)^2\left(x-2\right)} = \dfrac{x-1}{x-2}\xrightarrow[ x\rightarrow -1]{} \boxed{-2}\)

  4. \(\dfrac{\sqrt{1+\sin x} -\sqrt{1- \sin x} }{x}=\dfrac{ \left( \sqrt{1+\sin x} -\sqrt{1- \sin x } \right) \left( \sqrt{1+\sin x} +\sqrt{1- \sin x } \right) }{ x\left( \sqrt{1+\sin x} +\sqrt{1- \sin x } \right)}=\dfrac{2\sin x }{x\left( \sqrt{1+\sin x} +\sqrt{1- \sin x } \right)}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{1}\) car \(\sin x/x \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\).

  5. On reconnaît le taux d’accroissement de la fonction tangente en \(0\). Cette fonction étant dérivable en \(0\), on obtient : \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}{\scriptstyle\tan x\over\scriptstyle x}}=\tan' 0=1\)

  6. \({\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)^x }= { e^{x\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) } }={ e^{ \dfrac{ \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right) }{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} } } \xlongequal{X={\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} { e^{ {\scriptstyle\ln\left(1+X\right)\over\scriptstyle X} } }\xrightarrow[X\rightarrow 0]{} e\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)^x }=\boxed{e}\).


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