Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x+5} - \sqrt{x-5} }\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x-E\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}xE\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x^2+2\left|x\right|}{x}}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1}\dfrac{1+x}{1-x^2}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x+\operatorname{arctan} x}{x}}\)


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[ID: 564] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 249
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28
  1. \(\sqrt{x+5} - \sqrt{x-5} =\dfrac{\left(\sqrt{x+5} - \sqrt{x-5}\right)\left(\sqrt{x+5} + \sqrt{x-5}\right)}{\sqrt{x+5} + \sqrt{x-5}}=\dfrac{10}{\sqrt{x+5} + \sqrt{x-5}} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\boxed{0}\).

  2. Pour \(x>0\), \(0\leqslant\dfrac{x-E\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}} \leqslant\dfrac{x}{\sqrt{\left|x\right|} } =\sqrt{\left|x\right|}\) donc par application du théorème des gendarmes, \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}\dfrac{x-E\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}}=\boxed{0}\). Mais \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^-}\dfrac{x-E\left(x\right)}{\sqrt{\left|x\right|}}}=\boxed{+\infty}\).

  3. Pour tout \(x\in \mathbb{R}^*\), \(x(1/x-1)\leqslant x E\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\leqslant x.1/x\) donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}xE\left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)}=\boxed{1}\).

  4. Si \(x>0\), \(\dfrac{x^2+2\left|x\right|}{x}=\dfrac{x^2+2x}{x}=x+2\xrightarrow[x\rightarrow 0^+]{}\boxed{2}\). Si \(x<0\), \(\dfrac{x^2+2\left|x\right|}{x}={\scriptstyle x^2-2x\over\scriptstyle x}=x-2\xrightarrow[x\rightarrow 0^-]{}\boxed{-2}\)

  5. \(\dfrac{1+x}{1-x^2}=\dfrac{1+x}{\left(1+x\right)\left(1-x\right)}=\dfrac{1}{1-x}\xrightarrow[x\rightarrow -1]{} \boxed{\dfrac{1}{2}}\)

  6. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(1-\dfrac{\pi}{2x}\leqslant\dfrac{x+\operatorname{arctan} x}{x}\leqslant 1+\dfrac{\pi}{2x}\) donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x+\operatorname{arctan} x}{x}} =\boxed{1}\)


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