Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x-\sin x}}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}x\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x-5}{\sqrt{x^2-1}} }\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{3}{1-x^3}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \left( \ln x + 2x + 1 - E(x) \right) }\)


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[ID: 562] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:28] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 348
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:28
  1. \({e^{x-\sin x}}\geqslant e^{x-1}\) donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x-\sin x}}=\boxed{+\infty}\)

  2. \(x^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}=e^{{\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\boxed{1}\) par composition et car \(\ln x=\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x\right)\).

  3. \({x\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)}={{\scriptstyle\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)\over\scriptstyle{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}} \xlongequal{X={\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} {{\scriptstyle\ln\left(1+X\right)\over\scriptstyle X}}\) et \(\displaystyle{\lim_{X \rightarrow 0}{\scriptstyle\ln\left(1+X\right)\over\scriptstyle X}}=1\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}x\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right)}=\boxed{1}\) par utilisation des limites usuelles.

  4. \(\dfrac{3x-5}{\sqrt{x^2-1}}=\dfrac{x}{x}{\scriptstyle 3-{\scriptstyle 5\over\scriptstyle x}\over\scriptstyle x\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}} }\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{3}\)

  5. \(\dfrac{1}{1-x}-\dfrac{3}{1-x^3}=-{\dfrac {2+x}{{x}^{2}+x+1}} \xrightarrow[x\rightarrow 1]{} \boxed{-1}\)

  6. Pour tout \(x\in \mathbb{R}\), \(x-1\leqslant E\left(x\right)<x\). Donc : \(\ln x +x +1\leqslant\ln x + 2x + 1 - E(x)\) et comme \(\ln x+ x +1\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\) par application du théorème des gendarmes :\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \left( \ln x + 2x + 1 - E(x) \right) }=\boxed{+\infty}\)


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