Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x\sqrt{x}+2x}{x^2+x+1}}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 2}\dfrac{{x}^{3}-4\,{x}^{2}+5\,x-2}{{x}^{2}-3\,x+2}}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \left( 2 \cos^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - \sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} + 3 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}\right)}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} x\left( \sqrt{x^2+3}-x\right)}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x-\sqrt x}{\ln x + x}}\)


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[ID: 560] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:27] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 854
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:27
  1. \(\dfrac{x\sqrt{x}+2x}{x^2+x+1}=\dfrac{x\sqrt x}{x^2}{\scriptstyle 1+{\scriptstyle 2\over\scriptstyle\sqrt x}\over\scriptstyle 1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\boxed{0}\)

  2. On reconnaît le taux d’accroissement de la fonction \(\mathop{\mathrm{sh}}\) en \(0\). Cette fonction étant dérivable en \(0\), on obtient : \(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} \mathop{\mathrm{ch}}0 = \boxed{1}\).

  3. On a : \(\dfrac{{x}^{3}-4\,{x}^{2}+5\,x-2}{{x}^{2}-3\,x+2}=\dfrac{\left(x-2\right)\left(x^2-2x+1\right)}{ \left( x-2\right)\left(x-1\right)} \xrightarrow[x\rightarrow 2]{} \boxed{1}\).

  4. Pour tout \(x\in\mathbb{R}^*\) : \(2 \cos^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - \sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} + 3 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}\leqslant 6+ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}=6+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}\left(x-1\right) \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}-\infty\). Donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \left( 2 \cos^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - \sin {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} + 3 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}\right)}=\boxed{-\infty}\)

  5. \(x\left( \sqrt{x^2+3}-x\right)=x\dfrac{\left(\sqrt{x^2+3}-x\right) \left(\sqrt{x^2+3}+x\right) }{ {\sqrt{x^2+3}+x} }=\dfrac{3x}{\sqrt{x^2+3}+x}={\scriptstyle x\over\scriptstyle x}\dfrac{3}{\sqrt{1+{\scriptstyle 3\over\scriptstyle x^2}} +1}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\boxed{{\scriptstyle 3\over\scriptstyle 2}}\)

  6. \(\dfrac{x-\sqrt x}{\ln x + x}=\dfrac{x}{x}\dfrac{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle\sqrt x}}{{\scriptstyle\ln x\over\scriptstyle x}+1}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{1}\) car \(\ln x=\underset{x \rightarrow +\infty}{o}\left(x\right)\)


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