Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x^{\ln x}}{\left(\ln x\right)^x}}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \left( 1+\sin^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right) \ln x}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}x\sin \left(\dfrac{1}{x}\right)}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin\left(3x\right)}{x}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{ x}{\operatorname{arccos} x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}}\)


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[ID: 558] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:27] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 983
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:27
  1. \(\dfrac{x^{\ln x}}{\left(\ln x\right)^x} = \dfrac{e^{\left(\ln x\right)^2}}{e^{x\ln \ln x}}=e^{\ln^2 x-x\ln\ln x}=e^{x\left(\dfrac{\ln^2 x}{x} -\ln\ln x\right)}\) mais \(\dfrac{\ln^2 x}{x} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\) et \(\ln\ln x\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} +\infty\) donc \(\dfrac{x^{\ln x}}{\left(\ln x\right)^x}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\boxed{0}\) par opérations sur les limites.

  2. \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}} = \dfrac{\sqrt x}{\sqrt x}\dfrac{1}{\sqrt{1+\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} + \sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^3}} }}} \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}\boxed{1}\)

  3. \(\left( 1+\sin^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right) \ln x \leqslant\ln x\) donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \to 0^+} \left( 1+\sin^2 {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \right) \ln x}=\boxed{-\infty}\).

  4. \(\left|x\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\right| \leqslant\left|x\right|\) donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}x\sin \left({\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)}=\boxed{0}\)

  5. \({\dfrac{\sin\left(3x\right)}{x}}\xlongequal{X=3x} {3\dfrac{\sin X}{X}}\xrightarrow[X\rightarrow 0]{}{3}\) car \({\scriptstyle\sin x\over\scriptstyle x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}1\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\sin\left(3x\right)}{x}}=\boxed{3}\).

  6. Comme \(x \mapsto \dfrac{\operatorname{arccos} x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}{x}\) est le taux d’accroissement de \(\operatorname{arccos}\) en \(x=0\), cette fonction étant dérivable en \(0\), on a : \(\dfrac{\operatorname{arccos} x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}{x}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}-1\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{ x}{\operatorname{arccos} x-{\scriptstyle\pi\over\scriptstyle 2}}}=\boxed{-1}\)


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