Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(x^2 e^{-x}\right)}{e^{-x}} }\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 3}\dfrac{\sqrt{x}-\sqrt 3}{x-3}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}x\left(\sqrt{x+\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+\sqrt{x-1}}\right) }\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow -1}\dfrac{{x}^{3}-4\,{x}^{2}+x+6}{{x}^{2}+3\,x+2}}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2x^3-5x+10}{x^2+2x+2}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+x-1} - x\sqrt x }\)


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[ID: 556] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:27] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 35
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:27
  1. On a : \(\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(x^2 e^{-x}\right)}{e^{-x}} = x^2\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(x^2 e^{-x}\right)}{x^2 e^{-x}}\) et \({\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(x^2 e^{-x}\right)}{x^2 e^{-x}} }\xlongequal{X=x^2e^{-x}}{\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}X}{X}}\xrightarrow[X\rightarrow 0]{}1\). Donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{\mathop{\mathrm{sh}}\left(x^2 e^{-x}\right)}{e^{-x}} }=\boxed{+\infty}\)

  2. On reconnaît le taux d’accroissement de \(x\mapsto \sqrt{x}\) en \(x=3\). Cette fonction est dérivable en \(x=3\) donc on obtient : \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 3}{\scriptstyle\sqrt{x}-\sqrt 3\over\scriptstyle x-3}}=\boxed{{\scriptstyle\sqrt{3}\over\scriptstyle 6}}\)

  3. \[\begin{aligned} & & x\left(\sqrt{x+\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+\sqrt{x-1}}\right) \\&=& x\dfrac{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+1}}-\sqrt{x+\sqrt{x-1}}\right)\left(\sqrt{x+\sqrt{x+1}}+\sqrt{ x+\sqrt{x-1}}\right)}{\sqrt{x+\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+\sqrt{x-1}}} \\ &=&x \dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+\sqrt{x-1}}}= \quad x \dfrac{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)}{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+1} }+\sqrt{x+\sqrt{x-1}}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)} \\ &=& x \dfrac{2}{\left(\sqrt{x+\sqrt{x+1}}+\sqrt{x+\sqrt{x-1}}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}\right)} \\ &=& x\dfrac{2}{\sqrt x \left( \sqrt{1+\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}} } + \sqrt{1+\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}} } \right) \sqrt{x} \left(\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} +\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} \right)} \\ &=& \dfrac{2}{ \left( \sqrt{1+\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}} } + \sqrt{1+\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2}} } \right) \left(\sqrt{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} +\sqrt{1-{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} \right)}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{\dfrac{1}{2}} \end{aligned}\]

  4. \(\dfrac{{x}^{3}-4\,{x}^{2}+x+6}{{x}^{2}+3\,x+2}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x^2-5x+6\right)}{\left( x+1 \right)\left(x+2\right)} \xrightarrow[x\rightarrow -1]{} \boxed{12}\)

  5. \(\dfrac{2x^3-5x+10}{x^2+2x+2}= \dfrac{x^3}{x^2}\dfrac{2-\dfrac{5}{x} +\dfrac{10}{x^3}}{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{x^2}}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{+\infty}\)

  6. \(\sqrt{x^2+x-1} - x\sqrt x=x\sqrt x\left(\sqrt{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^2} -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x^3} } -1\right) \xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{-\infty}\)


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