Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{\sin\left(e^{-x}\right)}{e^{-x}}}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\cos\left(7x\right)e^{-3x}}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{e^x - 1}{x}}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(1+x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}}\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1}\dfrac{{x}^{3}-2{x}^{2}-x+2}{{x}^{2}+x-2}}\)


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[ID: 554] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:27] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 81
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:27
  1. \({\dfrac{\sin\left(e^{-x}\right)}{e^{-x}}} \xlongequal{X=e^{-x}} {\dfrac{\sin X}{X}}\xrightarrow[X\rightarrow 0]{}\boxed{1}\)

  2. \(\sqrt{x}-\sqrt{x+1} = \dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x+1}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\right)}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}} = \dfrac{-1}{\sqrt{x}+\sqrt{x+1}}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{} \boxed{0}\)

  3. Pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(-e^{-3x} \leqslant\cos\left(7x\right)e^{-3x} \leqslant e^{-3x}\) et \(e^{-3x}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\) donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\cos\left(7x\right)e^{-3x}}=\boxed{0}\)

  4. On reconnaît le taux d’accroissement de la fonction exponentielle en \(0\). Celle-ci étant dérivable en \(0\), on obtient : \({\scriptstyle e^x - 1\over\scriptstyle x} ={\scriptstyle e^x - e^0\over\scriptstyle x-0} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{1}\).

  5. \(\left(1+x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}=e^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \ln \left(1+x\right)} = e^X\) avec \(X= \dfrac{\ln \left(1+x\right)}{x} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} 1\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\left(1+x\right)^{{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}}} = \boxed{e}\)

  6. \({\scriptstyle{x}^{3}-2{x}^{2}-x+2\over\scriptstyle{x}^{2}+x-2}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x^2-x-2\right)}{\left(x-1\right)\left( x+2\right)} \xrightarrow[x\rightarrow 1]{}\boxed{-{\scriptstyle 2\over\scriptstyle 3}}\).


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