Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x \cos \left(e^x\right)}{x^2+1}}\)

  2. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^+}\ln x \ln \left(\ln x\right)}\)

  3. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}2x-1+\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}}\)

  4. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\ln\left(1+x^2e^{-x}\right)}\)

  5. \(\displaystyle{\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}{x} }\)

  6. \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}}\)


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[ID: 552] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:27] [Catégorie(s): Limite d'une fonction à valeurs réelles ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 259
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:27
  1. Pour tout \(x\in \mathbb{R}_+\), \(0\leqslant\left|\dfrac{x \cos \left(e^x\right)}{x^2+1}\right|\leqslant \dfrac{x}{x^2+1}\) donc par application du théorème des gendarmes \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{x \cos \left(e^x\right)}{x^2+1}} = \boxed{0}\)

  2. \(\ln x \ln \left(\ln x\right) = X \ln X\) avec \(X = \ln x \xrightarrow[x\rightarrow 1^+]{} 0\) donc \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 1^+}\ln x \ln \left(\ln x\right)}=\boxed{0}\)

  3. \(2x-1+{\scriptstyle\sqrt{x^2}\over\scriptstyle x}=2x-1+\dfrac{\left|x\right|}{x} = \begin{cases} 2x-1+1 &\textrm{ si } x\in \mathbb{R}_+^*\\ 2x-1-1 &\textrm{ si } x\in \mathbb{R}_-^*\end{cases}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}2x-1+\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}}=\boxed{0}\), \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^-}2x-1+\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}}=\boxed{-2}\)

  4. \(x^2e^{-x}\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}0\) donc par composition de limites : \(\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\ln\left(1+x^2e^{-x}\right)}=\boxed{0}\)

  5. \(\dfrac{\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}}{x}=\dfrac{\left(\sqrt{2+x} - \sqrt{2-x}\right)\left(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x}\right)}{x\left(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x} \right)}=\dfrac{2x}{x\left(\sqrt{2+x} + \sqrt{2-x} \right)}\xrightarrow[x\rightarrow 0]{}\boxed{{\scriptstyle\sqrt{2}\over\scriptstyle 2}}\).

  6. On reconnaît le taux d’accroissement de \(x\mapsto \ln\left(1+x\right)\) en \(0\). Cette fonction étant dérivable en \(0\), on obtient :\(\dfrac{\ln\left(1+x\right)}{x}=\dfrac{\ln\left(1+x\right)-\ln 1}{x-0} \xrightarrow[x\rightarrow 0]{} \boxed{1}\).


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