On considère une fonction \(f : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}\) admettant une limite finie \(l\) lorsque \(x \rightarrow +\infty\). Montrez que \[\forall \varepsilon> 0,~ \exists A > 0: \forall (x, x') \in [A, +\infty[,~\lvert f(x) - f(x') \rvert \leqslant\varepsilon\]


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[ID: 548] [Date de publication: 13 janvier 2021 07:26] [Catégorie(s): Avec les définitions ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 492
Par emmanuel le 13 janvier 2021 07:26

Soit \(\varepsilon>0\). Posons \(\tild{\varepsilon} = \varepsilon/ 2 > 0\). En utilisant la définition de \(f(x)\xrightarrow[x \rightarrow +\infty]{} l\), on peut affirmer qu’il existe \(A > 0\) tel que : \(\forall x \geqslant A\), \(\lvert f(x) - l \rvert \leqslant\tild{\varepsilon}\). Soit alors \((x, x') \in [A, +\infty[\), majorons en utilisant l’inégalité triangulaire : \[\lvert f(x)-f(x') \rvert = \lvert [f(x)-l] + [l - f(x')] \rvert \leqslant \lvert f(x) - l \rvert + \lvert f(x')-l \rvert \leqslant 2\tild{\varepsilon} \leqslant\varepsilon\] ce qui prouve le résultat.


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