Pour \(n\geqslant 1\), on considère l’équation \[(x-n)\ln n = x\ln(x-n).\]

  1. Montrer que pour \(n\) assez grand, cette équation admet une unique racine \(x_n\in ]n+1,n+2[\).

  2. Montrer que \((x_n-n-1) \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} \dfrac{\ln n}{n}\).


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[ID: 544] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:40] [Catégorie(s): Etude de suites définies implicitement ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 533
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:40
  1. On pose \(y = x-n-1\in[0,1]\). On considère donc l’équation \((y+1)\ln n = (y+n+1)\ln(y+1)\), soit \((y+1)\ln(y+1) - (y+1)\ln n + n\ln(y+1) - n\ln n + n\ln n = 0\) ou encore \((y+1+n)\ln{\scriptstyle y+1\over\scriptstyle n}+n\ln n = 0\).

    Soit \(F(y) = (y+1+n)\ln{\scriptstyle y+1\over\scriptstyle n}+n\ln n\). On a \(F(0) = (1+n)\ln{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}+n\ln n = -\ln n \leqslant 0\). On a \(F(1) = (2+n)\ln{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n}+n\ln n = 2\ln2 - 2\ln n + n\ln 2 = \ln \dfrac{2^{n+2}}{n^2}\).

    Soit \(u_n = \dfrac{2^{n+2}}{n^2}\). On a \(u_1 = 8; u_2 = 4; u_3 = \dfrac{32}{9}\). Comme \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2}{\left( 1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle n}\right) ^2} \geqslant 1\) pour \(n\geqslant 3\). Donc la suite \(u_n\) est croissante, et par suite, \(\forall n\geqslant 1\), \(u_n \geqslant 0\). Ainsi \(F(1) \geqslant 0\). Comme \(F\) est continue sur \([0,1]\), d’après le théorème des valeurs intermédiaires, \(F\) s’annule au moins une fois sur \([0,1]\).

    De plus, \(F'(y) = \ln{\scriptstyle y+1\over\scriptstyle n} + \dfrac{y+1+n}{y+1} = \ln{\scriptstyle y+1\over\scriptstyle n} + 1 + \dfrac{n}{y+1}\). Soit \(z = {\scriptstyle y+1\over\scriptstyle n} \in \left[ {\scriptstyle 1\over\scriptstyle n},{\scriptstyle 2\over\scriptstyle n} \right] \subset ]0,2]\). On a \(F'(y) = \ln z + 1 + {\scriptstyle 1\over\scriptstyle z} = G(z)\). On a \(G'(z) = \dfrac1z - \dfrac{1}{z^2} = \dfrac{z-1}{z^2}\). La fonction \(G\) admet donc un minimum en \(1\), et comme \(G(1) = 2\), on en déduit que \(G(z)\), comme \(F'(y)\) est strictement positif. On en déduit que \(F\) est strictement croissante sur \([0,1]\), ce qui assure l’unicité de \(y_n = x_n-n-1\) et donc celle de \(x_n\).

  2. À partir de \((y_n + 1 + n)\ln(y_n + 1) = (1+y_n)\ln n\), on a \(\ln(y_n + 1) = \dfrac{1+y_n}{y_n + 1 + n}\ln n \sim (1+y_n) \dfrac{\ln n}{n}\) puisque la suite \((y_n)\) est bornée. Toujours parce que \((y_n)\) est bornée, on a \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \ln(y_n + 1) = 0\). Donc \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} y_n = 0\). Donc \(\ln(y_n + 1) \sim y_n\) d’une part et \((1+y_n) \dfrac{\ln n}{n} \sim \dfrac{\ln n}{n}\) d’autre part, on en conclut que \(y_n \sim \dfrac{\ln n}{n}\) ce qu’il fallait démontrer.


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