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Exercice 174
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[ID: 542] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:40] [Catégorie(s): Etude de suites définies implicitement ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
Solution(s)
Exercice 174
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:40
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:40
On va se servir de trois inégalités : \[\forall u\in [0,1], -u - \dfrac{u^2}{2}\leqslant\ln(1-u) \leqslant-u \quad \forall t\in ]0,+\infty[, \dfrac{\ln t}{t} \leqslant\dfrac{1}{e} \quad \textrm{ et} \quad\forall t\in ]1,+\infty[, \dfrac{\ln^2 t}{t} \leqslant\dfrac{4}{e^2}.\] La deuxième inégalité se démontre en étudiant les variations de \(t\mapsto\dfrac{\ln t}{t}\) qui obtient son maximum en \(t=e\) et la troisième se démontre de même en étudiant les variations de \(t\mapsto\dfrac{\ln t}{t}\) (sur \(]1,+\infty[\)) qui obtient son maximum en \(t=e^2\).
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