Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on considère l’équation \(\left(E_n\right)~:\quad x+\ln x=n\) d’inconnue \(x\in \mathbb{R}_+^*\).

  1. Montrer que l’équation \(E_n\) possède une solution unique notée \(x_n\).

  2. Montrer que la suite \((x_n)\) diverge vers \(+\infty\).

  3. Donner un équivalent simple de la suite \((x_n)\).

 


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[ID: 540] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:40] [Catégorie(s): Etude de suites définies implicitement ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 712
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:40
  1. Posons \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+^* & \longrightarrow & \mathbb{R}_+^* \\ x & \longmapsto & x+\ln x \end{array} \right.\). La fonction \(\theta\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+^*\) et si \(x\in\mathbb{R}_+^*\), \(\theta'\left(x\right)={\scriptstyle x+1\over\scriptstyle x}\). On en déduit que \(\theta'\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}_+^*\) et que \(\theta\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). La fonction \(\theta\) réalise donc une bijection de \(\mathbb{R}_+^*\) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il existe donc un unique réel positif noté \(x_n\) tel que \(\theta\left(x_n\right)=n\). Ce réel est donné par : \(x_n=\theta^{-1}\left(n\right)\).

  2. Comme \(\theta^{-1}\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\), appliquant le théorème de composition d’une suite par une fonction on obtient : \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\theta^{-1}\left(n\right)}=+\infty\).

  3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). En partant de \(x_n+\ln x_n = n\) on obtient : \(x_n=n\dfrac{1}{1+\dfrac{\ln x_n}{x_n}}\). Mais comme \(x_n\xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{}+\infty\), on a : \(\dfrac{\ln x_n}{x_n} \xrightarrow[n\rightarrow +\infty]{} 0\) et donc \(\boxed{u_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim}n}\).


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