Pour tout \(n\in\mathbb{N}\) on considère l’équation \(\left(E_n\right)~:\quad xe^x=n\) d’inconnue \(x\in\mathbb{R}_+\).

  1. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(\left(E_n\right)\) admet une et une seule solution dans \(\mathbb{R}_+\). On la notera \(x_n\).

  2. Déterminer la limite de \((x_n)\).


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[ID: 538] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:40] [Catégorie(s): Etude de suites définies implicitement ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 505
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:40
  1. Posons \(\theta: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & xe^x \end{array} \right.\).La fonction \(\theta\) est dérivable sur \(\mathbb{R}_+\) et si \(x\in\mathbb{R}_+\), \(\theta'\left(x\right)=\left(x+1\right)e^x\). On en déduit que \(\theta'\) est strictement positive sur \(\mathbb{R}_+\) et que \(\theta\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}_+\). On peut alors affirmer que \(\theta\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}_+\) sur \(\mathbb{R}_+\). Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), il existe donc un unique réel positif noté \(x_n\) tel que \(\theta\left(x_n\right)=n\). Ce réel est donné par : \(x_n=\theta^{-1}\left(n\right)\).

  2. Comme \(\theta^{-1}\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\), en appliquant le théorème de composition d’une suite par une fonction on obtient : \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}x_n}=\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\theta^{-1}\left(n\right)}=+\infty\) car \(\theta\left(x\right)\xrightarrow[x\rightarrow +\infty]{}+\infty\).


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