Soit \(a>0\). Étudiez la suite de terme général : \[u_n = \sqrt{ a+\sqrt{a+\dots + \sqrt{a}}}\]
( ).
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[ID: 536] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 612
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R}_+ & \longrightarrow & \mathbb{R}_+ \\ x & \longmapsto & \sqrt{a+ x} \end{array} \right.\). La suite \(\left(u_n\right)\) est définie par récurrence par : \[\begin{cases}&u_0=\sqrt a\\\forall n\in\mathbb{N},\quad &u_{n+1}=f\left(u_n\right) \end{cases}.\] Comme \(f\) est strictement croissante et que \(u_1=\sqrt{a+\sqrt{a}}>\sqrt{a}=u_0\), la suite \(\left(u_n\right)\) est strictement croissante. Un point fixe positif de \(f\) est une solution positive de \(x^2-x-a=0\). La seule possibilité est \(\alpha=\dfrac{1+\sqrt{1+4a}}{2}\). On en déduit que l’intervalle \(\left[0,\alpha\right]\) est stable pour \(f\). De plus \(u_0=\sqrt{a}\in\left[0,\alpha\right]\). Par conséquent \(\left(u_n\in\left[0,\alpha\right]\right)\) et la suite est majorée. On applique le théorème de la limite monotone et on en déduit qu’elle converge vers l’unique point fixe positif de \(f\). Il vient alors que :


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