Soit \(u_0 > 0\) et \((u_n)\) la suite définie par : \[\forall n\in \mathbb N, \quad u_{n+1}= \sqrt{\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}u_k $}}\]

  1. Trouver une relation de récurrence simple entre deux termes successifs \(u_{n+1}\) et \(u_n\) de la suite.

  2. Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante

  3. Montrer que la suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).


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[ID: 532] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 678
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:38
  1. Remarquons que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) \[u_{n+1}=\sqrt{ \sum_{k=0}^{n-1} u_k + u_{n}} = \sqrt{u_n^2 + u_n}\] Introduisons alors \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[-1,+\infty\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \sqrt{x^2+x} \end{array} \right.\). On a affaire à une suite récurrente de la forme \(u_{n+1}=f(u_n)\). On vérifie par récurrence que si \(u_0>0\), alors \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_n >0\) ce qui permet de définir \(u_{n+1}\). Donc la suite \((u_n)\) est bien définie.

  2. Calculons alors pour \(n\in\mathbb{N}\) \[u_{n+1}-u_n = \sqrt{u_n^2+u_n}-u_n = \dfrac{ u_n^2+u_n - u_n^2}{\sqrt{u_n^2+u_n}+u_n}= \dfrac{u_n}{\sqrt{u_n^2+u_n}+u_n} \geqslant 0\] La suite \((u_n)\) est donc croissante.

  3. Par l’absurde, si la suite \((u_n)\) convergeait vers \(l\in \mathbb{R}\), alors \(l\) devrait être un point fixe de \(f\) et on devrait avoir \(l=f(l)\), c’est-à-dire \(l=\sqrt{l^2+l}\) et donc \(l=0\). Mais c’est impossible car \(u_0>0\) et \((u_n)\) est croissante.

    D’après le théorème de la limite monotone, on en déduit que la suite \((u_n)\) diverge vers \(+\infty\).


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