Soient \(0< u_0< v_0\), et \(p>q>0\). On définit deux suites par : \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1}=\dfrac{pu_n+qv_n}{p+q} \quad v_{n+1}=\dfrac{pv_n+qu_n}{p+q}\]

  1. Montrez que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) convergent vers la même limite.

  2. Soit \(\varepsilon>0\). Pour quelles valeurs de \(n\) est-on sûr que \(\left| u_n-l\right| \leqslant \varepsilon\) ?


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[ID: 530] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

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Exercice 844
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:38
  1. Par récurrence, on montre que \(\forall n\in \mathbb{N}^*\), \(u_n \leqslant v_n\), car \[v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{p-q}{p+q}(v_n-u_n)\] Soit alors \(n\in \mathbb N\), \[u_{n+1}-u_n = \dfrac{q}{p+q}(v_n-u_n)\geqslant 0\] \[v_{n+1}-v_n = \dfrac{q}{p+q}(u_n-v_n) \leqslant 0\] Donc \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) décroissante. En notant \(d_n=v_n-u_n\), on a vu que \[\forall n\in \mathbb N, \quad d_{n+1}=kd_n\]\(k=\dfrac{p-q}{p+q}\) et donc on a \(0<k<1\). Par conséquent, comme \(\left(d_n\right)\) est géométrique \(d_n=k^n d_0 \rightarrow 0\). En conclusion, les deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes et convergent vers la même limite.

  2. Puisque pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\), \(u_n \leqslant l \leqslant v_n\), il vient \(\left| u_n-l\right| \leqslant v_n-u_n =d_n = k^n(v_0-u_0)\). Pour avoir \(\left| u_n - l \right| \leqslant\varepsilon\), il suffit que \(d_n \leqslant\varepsilon\). C’est-à-dire \[n\geqslant\dfrac{ \ln \dfrac{\varepsilon}{v_0-u_0)} }{\ln {k}}.\]


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