Soit \(u_0\in[0,1]\). Étudiez la suite définie par la relation de récurrence \[\forall n\in\mathbb N, \ u_{n+1}=\dfrac{1}{2} u_n(1-u_n)\]


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[ID: 528] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 576
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \left[0,1\right] & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{1}{2} x\left(1-x\right) \end{array} \right.\). On montre que pour tout \(x\in[0,1]\), \(f'\left(x\right)=1/2-x\). On en déduit les variations de \(f\) sur \(\left[0,1\right]\).

L’intervalle \(\left[0,1\right]\) est stable donc la suite est bien définie et à valeurs dans \(\left[0,1\right]\). On vérifie facilement que \(0\) est le seul point fixe de \(f\), que pour tout \(x\in\left[0,1\right]\), \(f\left(x\right)\leqslant x\) et que \(f\) est croissante sur \(\left[0,1/2\right]\), décroissante sur \(\left[1/2,1\right]\). Supposons que \(u_0\in\left[0,1/2\right]\) alors la suite \(\left(u_n\right)\) est décroissante. Elle est de plus minorée par \(0\) donc d’après le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite est un point fixe de \(f\) donc \(u_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}0\). Si \(u_0\in\left]1/2,1\right]\) alors \(u_1=f\left(u_0\right)\in\left[0,1/2\right]\) car \(f\leqslant 1/8\) sur \(\left[0,1\right]\) et on retombe sur le premier cas.

\[\,\]


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