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Exercice 851
Étudier la suite définie par \(u_0 \in \mathbb{R}\) et \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1}= \dfrac{2u_n}{1+u_n^2}\]
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[ID: 526] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]Solution(s)
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Exercice 851
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38
Par Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces le 12 janvier 2021 15:38
Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{2x}{1+x^2} \end{array} \right.\). La suite \(\left(u_n\right)\) est donnée par \(u_0\in\mathbb{R}\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\) \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\). On montre que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)=2\dfrac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}\). On en déduit les variations de \(f\)
On va donc travailler dans un premier temps sur l’intervalle stable \(I=\left[-1,1\right]\). Sur \(I\), la fonction \(f\) est strictement croissante et ses points fixes sont \(-1\), \(0\) et \(1\). En résolvant l’inéquation \(f\left(x\right)\geqslant x\) sur \(I\) on montre que \(f\left(x\right)\leqslant x\) si \(x\in I_1=\left[-1,0\right]\) et que \(f\left(x\right)\geqslant x\) si \(x\in I_2=\left[0,1\right]\). Remarquons que les intervalles \(I_1\) et \(I_2\) sont aussi stables par \(f\). On en déduit alors que :
Si \(u_0\left]-\infty,-1\right[\) alors \(u_1\in I_1\) et donc on est ramené au premier cas. Si \(u_0\left]1,+\infty\right[\) alors \(u_1\in I_2\) et on est ramené au second cas.
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