Étudier la suite définie par \(u_0 \in \mathbb{R}\) et \[\forall n \in \mathbb N, \ u_{n+1}= \dfrac{2u_n}{1+u_n^2}\]


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[ID: 526] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 851
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \newline x & \longmapsto & \dfrac{2x}{1+x^2} \end{array} \right.\). La suite \(\left(u_n\right)\) est donnée par \(u_0\in\mathbb{R}\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\) \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\). On montre que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)=2\dfrac{1-x^2}{\left(1+x^2\right)^2}\). On en déduit les variations de \(f\)

On va donc travailler dans un premier temps sur l’intervalle stable \(I=\left[-1,1\right]\). Sur \(I\), la fonction \(f\) est strictement croissante et ses points fixes sont \(-1\), \(0\) et \(1\). En résolvant l’inéquation \(f\left(x\right)\geqslant x\) sur \(I\) on montre que \(f\left(x\right)\leqslant x\) si \(x\in I_1=\left[-1,0\right]\) et que \(f\left(x\right)\geqslant x\) si \(x\in I_2=\left[0,1\right]\). Remarquons que les intervalles \(I_1\) et \(I_2\) sont aussi stables par \(f\). On en déduit alors que :

  • si \(u_0\in I_1\) alors la suite est bien définie et à valeurs dans \(I_1\). De plus, comme \(u_0 \geqslant f\left(u_0\right)\) et que \(f\) est croissante alors \(\left(u_n\right)\) est décroissante. Comme elle est minorée par \(-1\), d’après le théorème de la limite monotone elle est convergente. Sa limite est forcément un point fixe de \(f\), donc dans ce cas \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}-1\).

  • si \(u_0\in I_2\) alors la suite est bien définie et à valeurs dans \(I_2\). Comme \(u_0 \leqslant f\left(u_0\right)\) et que \(f\) est croissante alors \(\left(u_n\right)\) est croissante. Cette suite est majorée par \(1\). On termine alors comme précédemment, et on montre que dans ce cas \(u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\).

Si \(u_0\left]-\infty,-1\right[\) alors \(u_1\in I_1\) et donc on est ramené au premier cas. Si \(u_0\left]1,+\infty\right[\) alors \(u_1\in I_2\) et on est ramené au second cas.


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