Étudier la suite définie par \(u_0\in \mathbb{R}\) et \(\forall n\in \mathbb N\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n^3 +6u_n}{3u_n^2 +2}\).


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[ID: 524] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:38] [Catégorie(s): Etude de suites données par une relation de récurrence ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 562
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:38

Introduisons la fonction \(f: \left\{ \begin{array}{ccl} \mathbb{R} & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \longmapsto & \dfrac{x^3+6x}{3x^2+2} \end{array} \right.\). La suite \(\left(u_n\right)\) est donnée par \(u_0\in\mathbb{R}\) et pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=f\left(u_n\right)\). On montre que pour tout \(x\in\mathbb{R}\), \(f'\left(x\right)= \dfrac{3\left(x^2-2\right)^2}{\left(3x^2+2\right)^2}\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). On trouve les points fixes de \(f\) en résolvant l’équation \(f\left(x\right)=x\). Ce sont les nombres : \(\sqrt 2, 0,-\sqrt 2\).

Appliquons maintenant le cours. Les intervalles \(I_1=\left]-\infty,-\sqrt 2\right]\),\(I_2=\left[-\sqrt 2,0\right]\), \(I_3=\left[0,\sqrt 2\right]\) et \(I_4=\left[\sqrt 2,+\infty\right[\) sont stables par \(f\). Soit \(k\in\llbracket 1,4\rrbracket\). Prenons \(u_0\in I_k\). La suite \(\left(u_n\right)\) est donc bien définie et à valeurs dans \(I_k\). En résolvant l’inéquation \(f(x)\leqslant x\) sur \(\mathbb{R}\), on vérifie facilement que \[\begin{cases} f(x)\geqslant x &\textrm{ si } x \in I_1 \\ f(x)\leqslant x &\textrm{ si } x \in I_2\\ f(x)\geqslant x &\textrm{ si } x \in I_3 \\ f(x)\leqslant x &\textrm{ si } x \in I_4 \\ \end{cases}\] et donc que \(\left(u_n\right)\) est croissante si \(u_0\in I_1\cup I_3\), décroissante si \(u_0\in I_2\cup I_4\). Elle est donc à chaque fois soit décroissante et minorée, soit croissante et majorée. La suite \(\left(u_n\right)\) est donc, d’après le théorème de la limite monotone, dans chaque cas convergente et comme sa limite est nécessairement un point fixe de \(f\), on obtient : \[u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}\begin{cases} -\sqrt 2 &\textrm{ si } u_0 \in I_1\cup I_2 \\ \sqrt 2 &\textrm{ si } u_0 \in I_3\cup I_4 \end{cases} .\]


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