1. Étudier les variations de la fonction \(f(x) = \left( x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right) \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right)\) pour \(x>0\).

  2. Étudier la fonction définie par \(g(x) = \left( x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right) .\ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12x(x+1)}\) pour \(x\geqslant 1\).
    (().
    On pourra, pour étudier le signe de la dérivée seconde, introduire \(t = (x+1).x\) )
  3. Démontrer que les deux suites \(u_{n}=\dfrac{n^{n+1/2}}{e^nn!}\) et \(v_{n}= u_{n}.\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n} \right)\) sont adjacentes. On appelle \(\ell\) la limite commune.

  4. On pose \(w_{n}= \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{n}x \,\textrm dx\). Démontrer que la suite \((w_{n})_{n\in {\mathbb N}}\) est décroissante. Trouver une relation entre \(w_{n}\) et \(w_{n+2}\). Calculer \(w_{n}\). Démontrer que \(\forall n\in {\Bbb N}, \dfrac{(2.4. \ldots . 2n)^2}{(3.5. \ldots . (2n-1))^2(2n+1)}\leqslant\dfrac\pi2 \leqslant\dfrac{(2.4. \ldots . (2n-2))^22n}{(3.5. \ldots . (2n-1))^2}\) En déduire l’existence de \(L = \displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{2^{4n}(n!)^4}{n\left[ (2n)!\right]^2 }\), et calculer \(L\).

  5. Calculer \(\ell\).

  6. En déduire un encadrement de \(n!\) pour \(n\geqslant 1\)

  7. En déduire un équivalent simple \(z_{n}\) de \(n!\). Donner des valeurs approchées pour \(1000!\) et pour \(z_{1000}\)

  8. Démontrer que \(w_{n}\simeq w_{n+1}\).

  9. Calculer \((n+1).w_{n}.w_{n+1}\) pour \(n\in {\Bbb N}\).

  10. Donner un équivalent de \(w_{n}\).


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[ID: 522] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




Solution(s)

Solution(s)

Formule de Stirling
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26
  1. Pour \(x>0\), \(f'(x) = \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) + \left( x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}\right) \times \left( - \dfrac{1}{x^2} \right) \times \dfrac{1}{1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}} = \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) - \dfrac{x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}{x(x+1)} = \ln\left(1+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x}\right) - \dfrac{1}{2x} - \dfrac{1}{2(x+1)}\).

    \(f''(x) = - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{1}{2(x+1)^2} = -\dfrac{1}{x(x+1)} + \dfrac{1}{2x^2} + \dfrac{1}{2(x+1)^2} = \dfrac{-2x(x+1) + (x+1)^2 + x^2}{2x^2(x+1)^2} = \dfrac{ (x+1-x)^2 }{2x^2(x+1)^2} = \dfrac{ 1 }{2x^2(x+1)^2} > 0\).

    On en déduit que \(f'\) est croissante sur \(]0,+\infty[\). Comme \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} f'(x) = 0\), on en déduit que \(\forall x>0, f'(x) < 0\) et par suite que \(f\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\).

    De plus, on a en \(+\infty\) \(f(x) \sim (x+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}).{\scriptstyle 1\over\scriptstyle x} \sim 1\). Donc \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x) = 1\). En particulier, \(\forall x>0, f(x) > 1\).

  2. On a \(\forall x>0, g'(x) = f'(x) + \dfrac{2x+1}{12x^2(x+1)^2} = f'(x) + \dfrac{1}{12x(x+1)^2} + \dfrac{1}{12x^2(x+1)}\).

    \(g''(x) = f''(x) - \dfrac{1}{12x^2(x+1)^2} - \dfrac{2}{12x(x+1)^3} - \dfrac{1}{12x^2(x+1)^2} - \dfrac{2}{12x^3(x+1)}\)
    \(\phantom{g''(x)} = \dfrac16 \left( \dfrac{2}{x^2(x+1)^2} - \dfrac{1}{x(x+1)^3} - \dfrac{1}{x^3(x+1)} \right) = \dfrac16\;\dfrac{2x(x+1) - (x+1)^2 - x^2}{x^3(x+1)^3} = -\dfrac{1}{6x^3(x+1)^3} < 0\).

    On en déduit que \(g'\) est décroissante sur \(]0,+\infty[\). Comme \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} g'(x) = 0\), on en déduit que \(\forall x>0, g'(x) > 0\) et par suite que \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).

    Comme \(\displaystyle \lim_{x\to\infty} g(x) = 1\). En particulier, \(\forall x>0, g(x) < 1\).

  3. On a, pour \(n\geqslant 1\), \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac{(n+1)^{n+3/2}}{e^{n+1}(n+1)!}\;\dfrac{e^nn!}{n^{n+1/2}} = \dfrac{(n+1)^{n+1/2}}{e}\).
    Donc \(\ln \left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \right) = f(n) - 1 > 0\). Donc \(\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} > 1\) et donc la suite \((u_n)_{n\geqslant 1}\) est croissante.

    On a, pour \(n\geqslant 1\), \(\dfrac{v_{n+1}}{v_{n}} = \dfrac{(n+1)^{n+3/2}}{e^{n+1}(n+1)!}\;\dfrac{e^nn!}{n^{n+1/2}}\; \dfrac{\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12(n+1)} \right)}{\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n} \right)} = \dfrac{(n+1)^{n+1/2}}{e} \exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12(n+1)} - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n} \right)\). Donc \(\ln \left( \dfrac{u_{n+1}}{u_{n}} \right) = f(n) - 1 - {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n(n+1)} = g(n) - 1 < 0\). Donc \(\dfrac{v_{n+1}}{v_{n}} < 1\) et donc la suite \((v_n)_{n\geqslant 1}\) est décroissante.

    Soit enfin \(\ell = \displaystyle \lim_{n\to\infty} v_n\), puisque \(u_{n}= v_{n}.\exp\left( -{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n} \right)\), on en déduit que \((u_n)_{n\geqslant 1}\) converge vers la même limite.

  4. Intégrales de Wallis. On a \(w_{n+1} - w_n = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{n}x(\cos x - 1) \,\textrm dx\). Comme \(\cos^{n}x(\cos x - 1) \leqslant 0\) on en déduit \(w_{n+1} - w_n \leqslant 0\) ce qu’il fallait vérifier.

    \(w_n - w_{n+2} = \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{n}x(1 - \cos^2 x ) \,\textrm dx = \int_0^{\pi/2}\cos^{n}x\sin^2 x \,\textrm dx\). On intègre par parties : \(\begin{cases} u'(x) = \sin x\cos^nx & u(x) = - \dfrac 1{n+1} \cos^{n+1}x \\ v(x) = \sin x & v'(x) = \cos x \end{cases}\) D’où \(w_n - w_{n+2} = \left[ - \dfrac 1{n+1} \cos^{n+1}x\sin x\right]_0^{\pi/2} + \dfrac 1{n+1} \displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^{n+1}x \,\textrm dx = 0 + \dfrac 1{n+1} w_{n+2}\).

    D’où \(w_n = \left( 1 + \dfrac 1{n+1} \right) w_{n+2}\) soit \(w_{n+2} = \dfrac{n+1}{n+2} w_n\).

    On peut ainsi calculer les \(w_n\) de deux en deux, en partant de \(w_0 = \dfrac\pi2\) ou \(w_1 = 1\).

    Donc \(w_{2n} = \dfrac{2n-1}{2n} w_{2n-2} = \ldots = \dfrac{2n-1}{2n} \, \dfrac{2n-3}{2n-2} \ldots \dfrac 12\,\dfrac\pi2\).

    et \(w_{2n+1} = \dfrac{2n}{2n+1} w_{2n-1} = \ldots = \dfrac{2n}{2n+1} \, \dfrac{2n-2}{2n-1} \ldots \dfrac 23\,1\).

    En écrivant \(w_{2n+1} \leqslant w_{2n}\leqslant w_{2n-1}\) on obtient \[\dfrac{2n}{2n+1} \, \dfrac{2n-2}{2n-1} \ldots \dfrac 23 \leqslant\dfrac{2n-1}{2n} \, \dfrac{2n-3}{2n-2} \ldots \dfrac 12\,\dfrac\pi2 \leqslant\dfrac{2n-2}{2n-1} \ldots \dfrac 23\] Soit en multipliant chaque expression par \(\dfrac{2n}{2n-1} \, \dfrac{2n-2}{2n-3} \ldots 2\) on trouve bien le résultat annoncé.

    Maintenant on multiplie en haut et en bas par les facteurs pairs \(2, 4,\ldots, 2n\) (au carré) pour reconstituer les factorielles de \(2n\) au dénominateur. On obtient alors :

    \[\forall n\in {\Bbb N}, \dfrac{(2.4. \ldots . 2n)^4}{(2.3.4.5. \ldots . (2n-1)(2n))^2(2n+1)}\leqslant\dfrac\pi2 \leqslant\dfrac{(2.4. \ldots . (2n-2))^4(2n)^3}{((2.3.4.5. \ldots . (2n-1)(2n))^2}\]

    On extrait ensuite les facteurs \(2\) pour obtenir les factorielles de \(n\) au numérateur. On obtient alors : \[\dfrac{(n!)^4}{[(2n)!]^2(2n+1)}\leqslant\dfrac\pi2 \leqslant \dfrac{(n!)^4}{[(2n)!]^2(2n)}\] En posant \(W_n = \dfrac{2^{4n}(n!)^4}{n\left[ (2n)!\right]^2 }\), la première inégalité s’écrit \(W_n \leqslant\dfrac\pi2 \, \dfrac{2n+1}{n}\) et la deuxième \(2\,\dfrac\pi2 \leqslant W_n\) d’après le théorème des gendarmes, \(L\) existe et vaut \(\pi\).

  5. On sait que \(n! \sim \dfrac1\ell\, \dfrac{n^{n+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}}{e^n}\) d’où \((2n)! \sim \dfrac1\ell\, \dfrac{(2n)^{2n+{\scriptstyle 1\over\scriptstyle 2}}}{e^{2n}}\), donc, d’après la question précédente, \(\pi \sim \dfrac{2^{4n}(n!)^4}{n\left[ (2n)!\right]^2 } \sim 2^{4n} \dfrac1{\ell^4}\, \dfrac{n^{4n+2}}{e^{4n}}\,\dfrac1n\,\dfrac{\ell^2e^{4n}}{(2n)^{4n+1}} \sim \dfrac{2^{4n}}{2^{4n+1}}\,\dfrac{n^{4n+2}}{n^{4n+1}n}\,\dfrac{e^{4n}}{e^{4n}}\, \dfrac{1}{\ell^2}\sim \dfrac{1}{2\ell^2}\). Puisque \(\ell>0\), \(\ell = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\).

  6. Puisque les suites \(u_n\) et \(v_n\) sont adjacentes, on a \(u_n \leqslant\ell \leqslant v_n\), on a \[\dfrac{n^{n+1/2}}{e^nn!} \leqslant\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} \leqslant \dfrac{n^{n+1/2}}{e^nn!} \exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n} \right).\] Soit \[\sqrt{2\pi n} \left( \dfrac ne \right)^n \leqslant n! \leqslant\sqrt{2\pi n} \left( \dfrac ne \right)^n \exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12n} \right).\]

  7. On en déduit que \(z_n = \sqrt{2\pi n} \left( \dfrac ne \right)^n\) est un équivalent (simple) de \(n!\). (formule de Stirling)

    On a \(\log_{10}(z_{1000})=2567,60461\) à \(10^{-5}\) près. Donc \(z_{1000}= 10^{2567}\times 10^{0,6046} = 4,0235 \times 10^{2567}\). De même on calcule \(\displaystyle\sum_{k=2}^{1000} \log_{10} k = 2567,60464\) à \(10^{-5}\) près, puis \(1000! = 4,0239\times 10^{2567}\). Le facteur correctif vaut \(\exp\left( {\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12000} \right) = 1 + \varepsilon\), avec \(\varepsilon\) à peu près égal à \({\scriptstyle 1\over\scriptstyle 12000}\) de l’ordre de \(10^{-4}\). On est donc (largement) dans les clous.

  8. On a \(w_{n+2}\leqslant w_{n+1}\leqslant w_n\) soit \(\dfrac{n+1}{n+2} w_n \leqslant w_{n+1}\leqslant w_n\) ou encore \(\dfrac{n+1}{n+2} \leqslant\dfrac{w_{n+1}}{w_n}\leqslant 1\) donc \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \dfrac{w_{n+1}}{w_n} = 1\) soit encore \(w_{n+1}\sim w_n\).

  9. Pour \(n=0\), \((n+1).w_{n}.w_{n+1} = 1\times\dfrac\pi2\times1 = \dfrac\pi2\). Par ailleurs \((n+2).w_{n+1}.w_{n+2} = (n+2).w_{n+1}.\dfrac{n+1}{n+2} w_n = (n+1).w_{n}.w_{n+1}\). Donc \((n+1).w_{n}.w_{n+1}\) est une suite constante, égale à \(\dfrac\pi2\).

  10. On a \(\dfrac\pi2 \sim (n+1).w_{n}.w_{n+1} \sim n w_{n}^2\). Donc \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sqrt n w_{n} = \sqrt{\dfrac\pi2}\). On en déduit \(w_{n} \sim \sqrt{\dfrac\pi{2n}}\).


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