Soient \((a_n)\) et \((b_n)\) deux suites à termes strictement positifs. On note \(A_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k $}\) et \(B_n=\mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^{n}b_k $}\). Si \(a_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} b_n\) et si la série \(\sum b_k\) diverge, montrer que \(A_n \underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} B_n\).


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[ID: 518] [Date de publication: 12 janvier 2021 15:26] [Catégorie(s): Suites équivalentes ] [ Nombre commentaires: 1] [nombre d'éditeurs: 1 ] [Editeur(s): Emmanuel Vieillard-Baron ] [nombre d'auteurs: 3 ] [Auteur(s): Emmanuel Vieillard-Baron Alain Soyeur François Capaces ]




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Exercice 398
Par emmanuel le 12 janvier 2021 15:26

Puisque \(a_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} b_n\) , \(a_n /b_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}1\). Soit \(\varepsilon>0\). Il existe alors un rang \(N_0\in\mathbb{N}\) tel que pour \(n\geqslant N_0\), on a : \[\left|\dfrac{a_n }{b_n}-1\right|\leqslant\varepsilon\] et donc puisque \(\left(b_n\right)\) est strictement positive : \[(1-\varepsilon )b_n\leqslant a_n\leqslant(1+\varepsilon )b_n.\] Donc : \[\left(1-\varepsilon\right)\sum_{k=N_0}^{n}b_k\leqslant\sum_{k=N_0}^{n}a_k\leqslant \left(1+\varepsilon\right)\sum_{k=N_0}^{n}b_k ,\]

ce qui s’écrit aussi :\[\left(1-\varepsilon\right)\left(B_n-B_{N_0-1}\right)\leqslant {A_n-A_{N_0-1}} \leqslant \left(1+\varepsilon\right)\left(B_n-B_{N_0-1}\right)\] ou encore \[\left(1-\varepsilon-\dfrac{\left(1-\varepsilon\right)B_{N_0-1} -A_{N_0-1}}{B_n}\right)B_n \leqslant A_n \leqslant\left(1+\varepsilon-\dfrac{\left(1+\varepsilon\right)B_{N_0-1} -A_{N_0-1}}{B_n}\right)B_n\] Mais comme \(B_n\xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{}+\infty\), \(\displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left(1-\varepsilon\right)B_{N_0-1} -A_{N_0-1}}{B_n}} = \displaystyle{\lim_{n \rightarrow +\infty}\dfrac{\left(1+\varepsilon\right)B_{N_0-1} -A_{N_0-1}}{B_n}} =0\). Il existe alors des rangs \(N_1,N_2\in\mathbb{N}\) tels que \[n\geqslant N_1 \Rightarrow -\varepsilon\leqslant\dfrac{\left(1-\varepsilon\right)B_{N-1} -A_{N-1}}{B_n} \leqslant\varepsilon\quad \textrm{ et} \quad n\geqslant N_2 \Rightarrow -\varepsilon \leqslant\dfrac{\left(1+\varepsilon\right)B_{N-1} -A_{N-1}}{B_n} \leqslant\varepsilon.\]

Posons \(N=\max\left(N_0,N_1,N_2\right)\). On a alors, pour \(n\geqslant N\) : \[\left(1-2\varepsilon\right)B_n \leqslant A_n \leqslant\left(1+2\varepsilon\right)B_n\] ce qui prouve que \(\boxed{A_n\underset{n \rightarrow +\infty}{\sim} B_n}\).


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